在实际工程中, 除了那些不容许产生振荡响应的系统外, 通常都希望控制系统具有适度的阻尼比、 较快的响应速度和较短的调节时间, 所以, 在进行二阶控制系统的设计时, 一般取ζ =0.4 ~0.8。 在谈到二阶系统的动态过程时, 主要指的是欠阻尼状态下的二阶系统的单位阶跃响应。 其各项动态性能指标, 除峰值时间、 超调量和上升时间可用ζ 和ωn 准确描述外, 延迟时间和调节时间都很难用ζ 和ωn 准确描述, 所以不得不采用工程上的近似计算方法。 现给出欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系, 如图3-10 所示。
图3-10 欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系
由图3-10 可知, 闭环极点到虚轴的距离是衰减系数ζωn; 闭环极点到实轴的距离是阻尼振荡频率ωd; 闭环极点到坐标原点的距离是无阻尼振荡频率ωn; ωn 与负实轴夹角的余弦正好是阻尼比, 即
下面通过阻尼比ζ 和无阻尼振荡频率ωn 来推导二阶系统欠阻尼情况下的单位阶跃响应,从而定义二阶系统的性能指标。
1. 上升时间tr
当t =tr 时, c(tr) =1。 此时二阶系统的单位阶跃响应为
由于指数项不为零, 故
由于上升时间被定义为c(t) 第一次达到稳态值的时间, 即n =1, 故
由式(3.33) 可以看出, 当阻尼比ζ 一定时, 提高系统无阻尼振荡频率ωn 可以使上升时间tr 缩短。
2. 峰值时间tp
用二阶系统的单位阶跃响应, 即式(3.22) 对时间t 求导, 并令其为零, 可得
将峰值时间定义为c(t) 达到第一个峰值的时间, 于是n =1, 则有
因此
式(3.35) 表明, 峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。 或者说, 峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比。 在阻尼比一定的情况下, 闭环极点离负实轴的距离越远, 系统的峰值时间越短。
3. 超调量σ%
根据超调量的定义, 超调量出现在峰值时间tp 时系统的响应为
上式表明, 超调量σ%只与阻尼比ζ 有关, 与无阻尼振荡频率ωn 无关。 欠阻尼二阶系统超调量σ%与阻尼比ζ 之间的关系曲线如图3-11 所示。 由图可知, 阻尼比大, 超调量小; 阻尼比小, 超调量大。 一般地, 当ζ 介于0.4 ~0.8 时, 相应的超调量σ%介于25.4% ~1.5%。
图3-11 欠阻尼二阶系统超调量与阻尼比之间的关系
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由上式求得调节时间ts 的表达式为
在上式中, 若取Δ =0.02, 则
若取Δ =0.05, 则
当阻尼比满足条件0 <ζ <0.9 时, 上述两式可以被近似写成
从上式可以看出, 调节时间ts 与闭环极点的实部数值ζωn 成反比。 系统的调节时间随着闭环节点离虚轴距离的增加而变短。 由于阻尼比主要根据对系统超调量的要求来决定, 所以调节时间主要由无阻尼振荡频率决定。 若能保持阻尼比ζ 不变而加大无阻尼振荡频率值ωn,则可以在不改变超调量的情况下缩短调节时间ts。
根据工程经验, Δ =0.02, ζ =0.76 对应的ts 最小; Δ =0.05, ζ =0.68 对应的ts 最小,即快速性最好。
【例3-1】 已知二阶系统的闭环传递函数为
式中, ζ =0.68; ωn =5 rad/s。 试计算该系统单位阶跃响应的tr, tp, σ%和ts。
解: 根据式(3.33) ~式(3.40), 计算得
解: 由图3-12 可知, 系统的闭环传递函数为
图3-12 控制系统结构
解得ζ =0.456。
其次, 根据ts =1 s 求得无阻尼振荡频率ωn。 则
解得ωn =3.53rad/s。
再次, 根据求得的阻尼比ζ 和无阻尼振荡频率ωn, 求得
最后, 根据性能指标的公式, 求出系统的其他性能指标
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