线的作图方法的分析介绍，

在展开放样中，经常会遇到各种形体相交而成的构件。如图2-24所示的三通管，即由两个不同直径的圆管相交而成。形体相交后，要在形体表面形成相贯线（也称表面交线）。在做相交形体的展开时，准确地求出其相贯线至关重要。因为相贯线一经确定，复杂的相交形体就可根据相贯线划分为若干基本形体的截体，可将它们分别展开。

由于组成相交形体的各基本形体的几何形状和相对位置不同，相贯线的形状也就各异但任何相交形体的相贯线，都具有以下性质：

1）相贯线是相交两形体表面的共有线，也是相交两形体表面的分界线。

2）由于形体都有一定的范围，所以相贯线都是封闭的。

图2-23 正垂面与圆锥的截交线

根据相贯线的性质可知，求相贯线的实质就是在相交两形体表面找出一定数量的共有点，将这些共有点依次连接起来，如图2-25所示，即得到所求相贯线。求相贯线的方法主要有辅助平面法、辅助球面法和素线法。

图2-24 异径正交三通管

图2-25 形体表面共有点构成相贯线

1.辅助平面法

辅助平面法求相贯线，是以一个假想辅助平面截切相交两形体，然后作出两形体的截交线，两截交线的交点即为两形体表面共有点。当以若干辅助平面截切相交两形体时，就可求出足够多的表面共有点，从而求出相交两形体的相贯线。

下面举例说明辅助平面法求相贯线的作图方法。

例5 求圆管正交圆锥管的相贯线。

分析：圆管正交圆锥管，相贯线为空间曲线。相贯线的侧面投影积聚成圆为已知，另外两面投影可用辅助平面法求得。具体作法如图2-26所示。

图2-26 圆管与圆锥管正交相贯线的求法

a）辅助平面作图法求相贯线 b）特殊点的假想辅助平面截切

1）相贯线的最高点和最低点的正面投影为圆管轮廓线和圆锥管母线的交点1′、5′，作正面投影时可直接画出。这两点的水平投影可由1′、5′点按正投影规则求出为1、5。

2）相贯线的最前点和最后点的正面投影，在圆管轴线位置的素线上，其水平投影在圆管前后两轮廓线上。为准确求出这两点的投影，可假想用Q平面沿圆管轴线位置水平截切相贯体（见图2-26b），并在水平投影图上作出相贯体的截交线，求得两形体截交线的交点3、3，即为相贯线的最前点和最后点。这两点的正面投影3′点可由3点按投影规则在辅助平面Q的正面迹线位置上求得。

3）一般位置点的投影可按上述方法设置辅助平面P、R截切相贯体来求得，它们在投影图中为2′、4′和2、4。

4）各相贯点的正面投影和水平投影都求出后，便可用光滑曲线将其连接，以构成完整相贯线的投影。

例6 求圆柱和球偏心相交的相贯线。

分析：圆柱面与球面偏心相交，相贯线为空间曲线。由于圆柱面轴线为铅垂线，因此相贯线的水平投影积聚成圆为已知。相贯线的正面投影，须用辅助平面法求得，具体作图过程如图2-27所示，不再详细说明。

图2-27 圆柱与球相贯

2.辅助球面法

辅助球面法求相贯线的作图原理与辅助平面法基本相同，只是用以截切相贯体的不是平面而是球面。为了更清楚地说明其原理，先来分析回转体与球相交的一个特殊情况。图2-28所示为当回转体轴线通过球心与球相交时，其交线为平面曲线——圆，特别是当回转体轴线又平行于某一投影面，如图2-28所示。图2-28中所示为正面时，则交线在该投影面的投影为一条直线。回转体与球相交的这一特殊性质，为我们提供了用辅助球面作图的方法。

如图2-29所示，当两相交回转体轴线相交，且平行于某一投影面时，可以两轴线交点为球心，在相贯区域内用一个辅助球面（在投影图中为一半径为R的圆）截切两回转体，然后求出各回转体的截交线（这截交线在投影图中表现为直线），两截交线的交点A、B就是相交两回转体的表面共有点，即相贯点。当以必要多的辅助球面截切相贯体时，就可求出足够多的相贯点。将各相贯点连成光滑曲线，就是所求相贯线。这便是用辅助球面法求相贯线的作图原理。(www.xing528.com)

图2-28 回转体与球相交的特殊情况

例7 求圆柱斜交圆锥的相贯线。

分析：圆柱与圆锥斜交如图2-30所示，相贯线为空间曲线。相贯线的最高点和最低点的正面投影1、4为圆柱轮廓线与圆锥母线的交点，作投影图时可直接画出。由于相交两形体均为回转体，而且轴线相交并平行与正面投影面，相贯线上其他各点的正面投影可用辅助球面法求得。

图2-29 辅助球面法作图原理

图2-30 圆柱斜交圆锥的相贯线求法

具体作法：以两回转体轴线交点O为圆心（球心），适宜长R₁、R₂为半径画两同心圆弧（球面），与两回转体轮廓线分别相交，在各回转体内分别连接各弧的弦长，对应交点为2、3。通过各点连成1—2—3—4曲线，即为所求相贯线。

应用辅助球面法求相贯线，作图时应对最大的和最小的球面半径有个估计。一般来说，由球心至两曲面轮廓线交点中最远一点的距离，就是最大球的半径，因为再大就找不到共有点了。从球心向两曲面轮廓线作垂线，两垂线中较长的一个就是最小球的半径，因为再小的话，辅助球面与某一曲面就不能相交了。

3.素线法

研究形体相交问题时，若两相交形体中有一个为柱（管）体，则因其表面可以获得有积聚性的投影，而表面相贯线又必积聚其中，故这类相交形体的相贯线，定有一面投影为已知。在这种情况下，可以由相贯线已知的投影，通过用素线在形体表面定点的方法，求出相贯线的未知投影。这种求相贯线的方法，称为素线法。下面举例说明这种方法的作图。

例8 求异径正交三通管的相贯线

分析：如图2-31所示为两异径圆管正交，相贯线为空间曲线。由投影图可知，支管轴线为铅垂线，主管轴线为侧垂线，所以支管的水平投影和主管的侧面投影都积聚成圆。根据相贯线的性质可知，相贯线的水平投影必积聚在支管水平投影上；相贯线的侧面投影必积聚在主管的侧面投影上，并只在相交部分的圆弧内。既然相贯线的两面投影都为已知，则其正面投影可用素线法求出。

具体作法：先作出相贯件的三面投影，并8等分支管的水平投影，得等分点1、2、3…；过各等分点引支管的表面素线，得正面投影1′、1′，侧面投影1″、2″、3″…；由各点已知投影利用素线确定2′、3′、2′点，连接1′、2′、3′、2′、1′点，得到相贯线的正面投影。

图2-31 异径正交三 通管的相贯线求法

工厂实际放样时，求这类构件的相贯线，均不画出俯视图和左视图，而是在主视图中画出支管1/2断面，并作若干等分取代俯视图；同时在主管轴线任意端画出两管1/2同心断面；再将其中支管断面分为与前相同等份，并将各等分点沿铅垂方向投影至主管断面圆周上，得相贯点的侧面投影；再用素线法求出相贯线的正面投影，从而简化了作图过程，如图2-32所示。

由上述可知，应用素线法求相贯线，应至少已知相贯线的一面投影。为此，须满足“两相交形体中有一个为柱体”的条件。但若相交形体中的柱体并不与已给的投影面垂直，投影则无积聚性。这时须先经投影变换，以求得柱体积聚性的投影（当然相贯线的一面投影也包含其中），然后再利用素线法求相贯线的未知投影。图2-33所示为圆柱斜交圆锥的相贯线，即用此法求得。

图2-32 三通管相贯线的简便求法

图2-33 换面法与素线法结合求相贯线

4.相贯线的特殊情况

回转体相交相贯线一般为空间曲线。如图2-34所示，当两相交回转体外切于同一球面时，其相贯线便为平面曲线，此时，若两回转体的轴线平行于某一投影面，则相贯线在该面上的投影为两相交直线。

图2-34 回转体相交的特殊情况

a）两圆柱外切与同一球面 b）圆柱与圆锥台外切与同一球面