纺丝溶液射流的相对运动方程

根据达朗贝尔原理，作用在质点上的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。在动坐标系下的射流溶液任意一点的相对运动方程中，将牵连加速度和科氏加速度、空气阻力产生的加速度作为附加力添加到平衡方程式（5.7）中，即单位质量上的体积力与惯性力组成形式上的平衡力系，相对运动方程如式（5.18）所示。

式（5.18）中体积力在射流过程中主要指重力，由于射流溶液的质量很小，重力相当于离心力是完全可以忽略的。同时也忽略空气阻力带来的额外加速度，假设在射流的小范围内喷丝头旋转带动周围的空气旋转，空气的角速度应当与喷丝头角速度一致，同时喷丝头喷射的纤维角速度与喷丝头的角速度一致，即运动的空气与射流纤维处于相对静止状态。节是一个二阶对称应力张量，它综合考虑了射流溶液在运动过程中的黏滞切应力和平均压力，射流溶液中任意一点的应力张量都可以用九个分量来表示，将黏滞切应力和应力张量分离开。

式中：p是射流溶液所受的平均压力；

T是偏应力张量。

纺丝溶液的流变本构方程指的是应力张量与应变率张量之间的关系，而当压力被分离出来后实际上是指偏应力张量与应变率张量之间的关系，根据斯托克斯的三个假定条件，偏应力张量与应变率张量之间的关系可以被描述为：

式中是二阶单位张量；

a、b是与坐标系无关的两个标量。(www.xing528.com)

应变率张量为：

将式（5.18）应用于牛顿流体特例中，可以知道a=2μ，于是又有：

在式（5.17）中可以看出pxx+pyy+pzz=-3p，则可以推导出射流溶液中对角线方向上的三个偏应力张量分量的和为零。

因此，在射流过程中溶液所受的黏滞切应力T的表达式如式（5.24）所示：

综上所述，纤维任一点射流运动的相对运动方程为：

由式（5.25）可知，射流纤维任意一点的相对运动速度与电动机转速ω、黏稠系数k、流变指数n有着密切关系。射流纤维的相对速度与电动机的转速ω成正比关系，电动机转速越大，纤维的相对速度越大。黏度与速度成反比，溶液黏度越大，射流速度越小。这与第4章仿真中的结论一致。