二自由度系统的动刚性矩阵变形及单自由度系统演变

为了说明传递函数综合法的概念，我们先来看如图4.9所示的单自由度系统，其中的质量由两个质量块固结而成。该系统的自由振动方程为

变形为

其中，Z（ω）=k-ω²m₁-ω²m₂，称为系统的动刚性（柔顺性函数的倒数）。

图4.9 由两个质量块固结而成的单自由度系统

a）单自由度系统 b）系统子结构1 c）系统子结构2

现在，把质量块m₁和m₂分开，二者的结合力用f表示，形成图4.9b和图4.9c所示的两个子结构，则对于子结构1，可得

结合点内力与结合点位移之间的柔顺性函数为

对于子结构2，可得

结合点内力与结合点位移之间的柔顺性函数为

将式（4.20）和式（4.21）与式（4.19）比较可知，系统的动刚性可以由两个子结构的传递函数的倒数合成而来，即

这就是最简单的传递函数综合法的例子。

现在再来考察如图4.10所示的二自由度系统。该系统的强迫振动方程为

变形为

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由式（4.22）可见，该系统的动刚性矩阵为

图4.10 二自由度系统的例子

a）二自由度系统 b）子结构1 c）剩余结构 d）子结构2

如果把该系统从弹簧k₂的两个结合点分割开，可以形成以下子系统：弹簧k₁与质量m₁构成子结构1，质量m₂构成子结构2，两个结合点之间的弹簧k₂作为最终的分析对象，可以理解为剩余结构。对于子结构1和2，结合点处的加振点柔顺性函数为

对于剩余结构，可以列出以下方程（根据位移连续性条件，弹簧k₂的两端结合点位移分别等于质量块m₁和质量块m₂的位移。这里，小写f代表内力，大写F代表外力）

式（4.25）的右边为未知的内力向量。根据线性系统的叠加原理，结合点的位移是由内力和外力的共同作用引起的，因此有以下关系

由此可得内力为

即

代入式（4.25），可得

式（4.26）是通过将两个子结构的传递函数在剩余结构（弹簧k₂）的自由度上进行合成而得来的。将式（4.24）的结果代入，可见它与原有系统的运动方程式（4.22）等价。对式（4.26）求解，即可得到原有系统的响应。这就是传递函数综合法的原理。事实上，对系统的动刚性矩阵式（4.23）可以进行以下变形

式（4.27）表示，系统的动刚性是由3个项目组合而成的。[Z₀]代表剩余结构（这里指结合部的弹簧k₂）的动刚性矩阵（剩余结构的自由度就是分析的对象）；[Z₁]可以看成子结构1在所有分析自由度上表现出来的动刚性矩阵，[Z₂]可以看成子结构2在所有分析自由度上表现出来的动刚性矩阵。[Z₁]和[Z₂]由传递函数所决定，可以通过实验测量得到，也可以通过有限元计算得到。

由以上过程可以看出，传递函数综合法原理上是严密的。但是，如果子结构之间的结合部刚性太大，以至于可以认为是一体的时候，所构成的传递函数矩阵可能接近奇异（不满秩），使得产生较大的数值误差。例如在图4.10所示的例子中，如果弹簧k₂的刚性为无限大，则变为单自由度系统。用二自由度系统来描述该系统，会产生奇异矩阵带来的问题。因此，在划分子结构时，最好是从柔性结合部进行分割。

另外应该注意的是，用传递函数组装而成的动刚性矩阵是频率的函数，从中无法分离出质量矩阵和刚性矩阵，因此，不能进行特征值分析。严格来说，不能应用模态法进行求解，只能用直接法求解。