矩阵对策的基本定理及求解方法

本节将讨论矩阵对策解的存在性及其性质，给出矩阵对策在混合策略意义下解的存在性的构造性证明，同时给出求解矩阵对策的基本方法──线性规划法。

以下，记

则 E（i，y）为局中人Ⅰ取纯策略 αi时的赢得值，E（x，j）为局中人Ⅱ取纯策略βj时的赢得值。由式（10.13）和式（10.14），有

根据上面记号，可给出定理2的另一等价形式：

定理3　设则（x*，y*）为对策G的解的充要条件是：对任意i＝1，…，m 和j＝1，…，n，有

证明　设（x*，y*）是对策G的解，则由定理2 知，式（10.12）成立。由于纯策略是混合策略的特例，故式（10.17）成立。反之，设式（10.17）成立，由

即得式（10.12），证毕。

定理3 说明，当验证（x*，y*）是否为对策G的解时，只需对由式（10.17）给出的有限m×n个不等式进行验证，使对解的验证大为简化。定理3的一个等价形式是定理4。

定理4　设则（x*，y*）为对策G的解的充要条件是：存在数v，使得x*和y*分别是不等式组（10.18）和（10.19）的解，且v＝VG。

证明留给读者作为练习。

下面给出矩阵对策的基本定理，也是本节的主要结果。

定理5　对任一矩阵对策G＝{S1，S2； A}，一定存在混合策略意义下的解。

证明　由定理3，只要证明存在使得（10.17）成立即可。为此，考虑如下两个线性规划问题：

容易验证，问题（P）和（D）是互为对偶的线性规划，而且

是问题（P）的一个可行解；

是问题（D）的一个可行解。由线性规划对偶定理可知，问题（P）和（D）分别存在最优解（x*，w*）和（y*，v*），且 w*=v*，即存在和数v*，使得对任意 i=1，…，m和j=1，…，n，有

得到 v*=E（x*，y*），故由式（10.21）知式（10.17）成立。证毕。

定理5的证明是构造性的，不仅证明了矩阵对策解的存在性，同时给出了利用线性规划方法求解矩阵对策的思路。(www.xing528.com)

下面的定理6 至定理8 讨论了矩阵对策及其解的若干重要性质，它们在矩阵对策的求解时将起重要作用。

定理6　设（x*，y*）是矩阵对策G的解，v＝VG，则

（1）若

（2）若

（3）若

（4）若

证明　由有

又因为

同理可证（2），（4），证毕。

以下，记 T（G）为矩阵对策G的解集，下面两个定理是关于矩阵对策解的性质的主要结果。

定理7　设有两个矩阵对策G1＝{S1，S2； A1}，G2＝{S1，S2； A2}，其中A1＝（aij），A2＝（aij+L），L 为一任意常数，则有：

（1）VG2=VG1+L ；

（2）T(G1)=T(G2)。

定理8　设有两个矩阵对策G1＝{S1，S2； A}，G2＝{S1，S2； αA}，其中α＞0，为一任意常数，则有：

（1）VG2=αVG1；

（2）T(G1)=T(G2)。

其中T（G1）和T（G2）分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优策略集。