目前已获得二元体系的等温凝固简单解析方法[11，34，35]。诸如此类的解析方法已经用来计算焊接过程中液相区的瞬时宽度和整个液相宽度被消耗殆尽所需的时间[58-60]。通过考虑双相扩散偶，等温凝固过程可采用质量平衡方程来描述，见式11.5。如果在固液界面处，固液两相处于平衡状态，那么在整个等温凝固过程中固相和液相成分都由一条结线所固定。溶质在液态中扩散速率比其在固体中的扩散速率高几个数量级，所以，可以假定在液态中没有浓度梯度，进而质量平衡方程可被简化为式（11.6）的形式。
为获得固液界面的质量平衡，将替代参数λ引入固液界面处的质量平衡方程中，其中，替代参数λ可表示为：
因为纯母材金属的初始条件为C（∞）=0，固液界面处（λi）被定义为ξ，其边界条件为C（ξ）=CαL，可得
λi=ξ （11.8）
因此，界面瞬时位置可表示为式（11.9）的形式，并且可用式（11.10）来表示。
用来描述固定体积中浓度变化速率的菲克第二定律可用参数λ表示为
通过使用积分、初始条件和边界条件，可以得到微分方程的解。作为位移和时间的函数，固体中的浓度曲线可由下式表示：
质量平衡方程作为替代参数的函数可由式（11.13）表示，其中，k表示分配系数CLα/CαL。
将式（11.12）代入到质量平衡方程中，便得到了固液界面处的解，见式（11.14）。由于没有闭合形式解，因此这个方程要使用迭代方法进行计算。
当固液界面达到接头中心线位置时X（t）=-Wmax/2，等温凝固阶段结束。通过式（11.10），该阶段完成的时间可表示为(www.xing528.com)
从式（11.14）中可以看出，在等温条件下ξ是一个常数。由于它描述了固液界面的移动速率，因而被称为等温凝固速率常数。增加ξ值，固液界面移动速率加快而且等温凝固持续时间缩短。当温度和初始液相宽度改变时，由于ξ独立于初始液相宽度，因此与相应的等温凝固时间相比，用ξ对过程动力学进行讨论是更有用的。
分析模型在求导时的假定可被总结为[50]如下几种形式：
1）一维扩散：溶质在母材中溶解扩散被假定为仅发生在一维方向上，如仅发生在垂直于母材方向上。溶质通量是浓度梯度的函数。
2）稳态液体：在液体中没有混合。溶质再分配仅扩散移动的函数。除以感应加热作为热源形式外，这种假设都是有效的。
3）扩散系数为常数：在等温阶段的保温时间内，扩散系数是常数，并与溶质浓度无关。事实上，扩散系数与局部化学成分有关，因此假定扩散系数不变，只是用来简化方程。
4）半无限大母材：母材被认为是半无限大的，即溶质的扩散距离要远远小于母材的厚度。
5）固液界面上的平衡：在固液界面处满足局部相平衡，而且满足平衡相图的相边界条件[61]。
6）固液界面的面积为常数：固液界面被假设为平面，在钎缝变宽以及等温凝固过程中存在晶界沟槽，而且也有文献讨论过它们对过程动力学的影响。
大量的研究表明，采用试验方法测定的固液界面动力学比采用解析方法预测的动力学要快一些。在很多情况下，这种差异主要是由实验设计造成的。例如，若液相中间层被挤压或铺展超出界面以外，那么液相的宽度将会减少。然而也存在下述的一些其他情况，如解析方法所用的假设不能成立。例如，与中间层厚度相比，不能假设母材是半无限大的，这种情况多发生于微连接领域中。此时，堆积在母材中的溶质减缓了过程动力学，而且延长了等温凝固所需时间。在这种情况下，需采用数值模拟方法来提高准确性。
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