割线法求解非线性方程

Newton-Raphson法基于函数y=f（x）的切线，利用切线的斜率来计算新的迭代值。这种方法所遇到的困难是需要计算函数的导数，即f′（x）。一种计算切线斜率的替代方法如图3.8所示，取所求根附近的两点进行内插并计算斜率。

图3.8 割线法的说明

这样就得到一个线性函数

q（x）=a₀+a₁x （3.67）

式中，q（x⁰）=f（x⁰）和q（x¹）=f（x¹）。这条直线是一条割线，并可表示为

求解方程并令x²=x得

现在，通过使用x²和x¹构造另一条割线，这个过程可以重复。通过不断地更新割线，可得到一般性的公式为

注意，割线法可以看作是Newton-Raphson法

的一种近似，即在求导时进行了近似：

割线法通常比Newton-Raphson法快，尽管它需要更多次数的迭代才能收敛到相同精度的解。这是因为Newton-Raphson法需要计算2个函数（f（x^k）和f′（x^k）），而割线法只需要计算一个函数f（x^k），因为f（x^k-1）可以从前次迭代中继承。

割线法具有“超线性”收敛性，它比线性收敛快，但是不如平方收敛（Newton-Raphson法）快。令第k次迭代时的误差为

e^k=x^k-x^∗ （3.73）

式中，x^∗是精确解。利用Taylor级数展开：

类似地

此外有

x^k-x^k-1=（x^k-x^∗）-（x^k-1-x^∗）=e^k-e^k-1(www.xing528.com)

在式（3.70）两边同时减去x^∗并应用f（x^∗）=0得到

即

令

e^k=C_k（e^k）^r式中，r是收敛阶。如果r>1，那么收敛速度就是超线性的。如果式（3.79）余下的项可以忽略，那么式（3.79）可以被重写为

取极限

对于很大的k，

e^k=C（e^k-1）^r

并且

将此代入到式（3.81）中得

因为，这个关系只能在r²-r-1=0时成立，从而得到

因此是超线性收敛的。

例3.7 使用割线法求解如下方程的解，初始值为x⁰=1.5、x¹=1.4。

解3.7 使用式（3.70），可得到如下的结果：