子空间矩阵方程求解方法

由式（8-32），对于k＝i有

x_i+₁＝Ax_i+Bu_i+Ke_i （8-35）

当k＝i+1，有

x_i+₂＝Ax_i+₁+Bu_i+1+Ke_i+₁ （8-36）

将式（8-35）带入式（8-36）可得

对于k＝i+2，i+3，…，2i-1可以依次类推。当k＝2i-1时有

将式（8-38）中的时间下标依次分别减i，（i-1），…，（i-j+1），组合在一起得到

由式（8-32），当k＝i和k＝i+1时，分别有

将式（8-35）带入式（8-41）可得(www.xing528.com)

对于k＝i+2，i+3，…，2i-1，可以依次类推。当k＝2i-1时，有

对于k＝i，i+1，…，2i-1，综合以上结果得到

由式（8-44）进一步得到

另外，类似于式（8-45）可得到

在子空间辨识中，经常取p＝f＝i，并记X_p＝X₀，X_f＝X_i，{U，Y，E}_0|i-1＝{U，Y，E}_p，{U，Y，E}i|_2|i-1＝{U，Y，E}_f。由式（8-39）和式（8-45）～式（8-46）可得到

根据前面有L+1组输入输出采样数据{u_k，y_k}^L_k＝0的前提，则要求2i+j-2≤L。由于p＝f＝i，Hankel矩阵都看成是i行、j列的分块矩阵，一般要求j＞＞i。上面的等式称为子空间矩阵方程，是子空间辨识理论分析推导的基础。各式中下标“p”、“f”分别表示前部（past）和后部（future）；“d”、“s”分别表示确定（determin-istic）和随机（stochastic），允许对相应项分别采用确定性过程的分析工具和随机过程的分析工具。以U_p和U_f为例，它们分别为“前部”和“后部”的输入Hankel矩阵，构成如下：

注意U_p和U_f的行数可以不相等，但为简单起见常取p＝f＝i。