RSA编码：高效的块编码技术

RS码由Reed和Solomon两位研究者发明，故称为里德-所罗门（Reed-Solomon）码，简称RS码，它是广泛应用在数字电视传输系统中的一种纠错编码技术。RS码以字节为单位进行前向误码纠正（FEC），它具有很强的随机误码及突发误码纠错能力。

从结构上看，RS码是一种码元长度为n、信息位长度为k的（n，k）型线性分组码，其中分组码是指在k位信息码元的后面按编码规则附加r位监督码元而构成码长为n的码字，并用（n，k）表示。在纠错编码中，码字距离、特别是码字最小距离，是衡量一种码抗干扰能力大小的标准，码字最小距离越大，说明任何两个码字之间的最小差别越大，抗干扰能力越强。在所有的线性分组码中，RS码的汉明距离最大，因此RS码纠错能力最佳。

RS编码是一种非常有效的块编码技术，与其他以单个码元为基础的块编码技术不同，RS码以码组为基础，码组又称为符号，RS码只处理符号，即使符号中只有一个比特出错，也认为是整个符号出错。在RS（n，k）编码中，输入信号分成km比特一组，每组包括k个符号，每个符号由m比特组成，因此总码长n=k+r个符号，共有k个信息符号、r个监督符号。RS码能够纠正t=r/2个符号的错误，通常一个可纠错t个误码字节的RS码可表示为（n，k，t）。

在RS编码中，每个符号要乘以某个基本元素的幂次方后再模2加，如图1-45所示。

图1-45 RS纠错编码原理框图

而在RS解码中，欲检出一系列误码则需要用码字除一定数量的一次多项式。如果要纠正t个错误，那么码字必须被2t个不同的一次多项式整除。例如被x+αⁿ的一次多项式整除，这时的n取值直到2t的所有整数值，α是基本元素，例如α为010，输入5个符号，每个符号3bit，与相应的元素相乘后直接模2加输出，因为有两种系数，所以得到两个监督码元，两个监督码元式为

下面举一个简单例子说明纠错过程，在无差错时，S₀=0，S₁=0，有如下关系：

码字

如果输入信号是D组出现差错，由100变为101，记为D′。

则在接收时出现错误RS码为

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通过S₀与S₁的计算可求得误码的位置：

S₀=001=α⁷=1

S₁=110=α⁴

S₁/S₀=α⁴/1=α⁴

所以k=4指出是α⁴出错。纠错方法是D=D′+S₀=101+110=100，即完成了纠错过程。

同理，如果输入信号是C组出现差错，C′=110时，可计算出

S₀=100，S₁=0001

S₀=100=α²

S₁=001=α⁷=1

S₁/S₀=α⁷/α²=α⁵

所以k=5指出是α⁵出错。纠错方法是C=C′+S₀=110+100=010，即完成纠错。

在DVB系统中，信道编码采用（204，188，t=8）的RS码，即n=204B，k=188B，即每188个信息码元要用16个监督码元，总码元数为204个符号，m=8bit（1B），监督码元长度为2t=16B，纠错能力为一段码长为204B内的8B，此RS码的长度在原理上应为n=2^m-1=255B，实施上述RS编码时，先在188B前加上51个全0B，组成239B的信息段，然后根据RS编码电路在信息段后面生成16个监督字节，即得到所需的RS码。