逐点比较法优化直线插补

1.偏差函数

如图4-2所示，以XY平面第Ⅰ象限为例，OA是要插补的直线，加工的起点坐标为原点O，终点A的坐标为A（xa,ya）。直线OA的方程为

设点P（xi，yi）为任一加工点，若点P正好位于直线OA上，则

即

xayi-xiya=0

若加工点P在直线OA的上方（严格地说，在直线OA与Y轴所成夹角区域内），那么下述关系成立，即

xayi-xiya＞0

若加工点P在直线OA的下方（严格地说，在直线OA与X轴所成夹角区域内），那么下述关系成立，即

xayi-xiya＜0

设偏差函数为

综合以上分析，可把偏差函数与刀具位置的关系归结为表4-1。

表4-1　逐点比较直线插补偏差函数与刀具位置的关系

2.进给方向与偏差计算

插补前刀具位于直线的起点O。由于点O在直线上，由表4-1可知这时的偏差值为零，即

设某时刻刀具运动到点P1（xi,yi），该点的偏差函数为

若偏差函数Fi大于零，由表4-1可知，这时刀具位于直线上方，如图4-3（a）所示。为了使刀具向直线靠近，并向直线终点进给，刀具应沿X轴正向走一步，到达点P2（xi+1，yi +1）。P2点的坐标由下式计算，即

刀具在点P2处的偏差值为

Fi+1=xayi+1-xi+1ya=xayi-(xi+1)ya=(xayi-xiya)-ya

利用式（4-3）可把上式简化成

图4-3　直线插补的进给方向

若偏差函数Fi等于零，由表4-1可知，这时刀具位于直线上。但刀具仍沿X轴正向走一步，到达点P2。偏差值的计算过程与Fi大于零时的计算过程相同。

若偏差函数Fi小于零，由表4-1可知，这时刀具位于直线下方，如图4-3（b）所示。为了使刀具向直线靠近，并向直线终点进给，刀具应沿Y轴正向走一步，到达点P2（xi+1，yi+1）。P2点的坐标由下式计算，即

刀具在点P2处的偏差值为

Fi+1=xayi+1-xi+1ya=xa(yi+1)-xiya=(xayi-xiya)+xa

利用式（4-3）可把上式简化成

式（4-2）、式（4-4）和式（4-5）组成了偏差值的递推计算公式。与直接计算公式（式4-1）相比，递推计算公式只用加/减法，不用乘/除法，计算简便，速度快。递推计算公式只用到直线的终点坐标，因而插补过程中不需要计算和保留刀具的瞬时位置，这样减少了计算工作量、缩短了计算时间，且有利于提高插补速度。

直线插补的坐标进给方向与偏差计算方法如表4-2所示。

表4-2　直线插补的坐标进给方向与偏差计算方法

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3.终点判断

由于插补误差的存在，刀具的运动轨迹有可能不通过直线的终点A（xa，ya）。因此，不能把刀具坐标与终点坐标相等作为终点判断的依据。

可以根据刀具沿X、Y两轴所走的总步数来判断直线是否加工完毕。刀具从直线起点O（见图4-2），移动到直线终点A（xa，ya），沿X轴应走的总步数为xa，沿Y轴应走的总步数为ya。那么，加工完直线OA，刀具沿两坐标轴应走的总步数为

在逐点比较插补法中，每进行一个插补循环，刀具要么沿X轴走一步，要么沿Y轴走一步。也就是说，插补循环数i与刀具沿X、Y轴已走的总步数相等。这样，就可根据插补循环数i与刀具应走的总步数N是否相等来判断终点，即直线加工完毕的条件为

4.插补程序

图4-4所示为逐点比较法直线插补的流程图。图中i是插补循环数，Fi是第i个插补循环中偏差函数的值，（xa,ya）是直线的终点坐标，N是完成直线加工刀具沿X、Y轴应走的总步数。插补时钟的频率为f，它用于控制插补的节奏。

插补前，刀具位于直线的起点，即坐标原点，因此偏差值F0为零。因为还没有开始插补，所以插补循环数i也为零。在每一个插补循环的开始，插补器先进入“等待”状态。插补时钟发出一个脉冲后，插补器结束等待状态，向下运行。这样插补时钟每发一个脉冲，就触发插补器进行一个插补循环，从而可用插补时钟控制插补速度，也控制了刀具的进给速度。

插补器结束“等待”状态后，先进行偏差判别。由表4-2知，若偏差值Fi大于等于零，刀具的进给方向应为+X，进给后偏差值为Fi-ya ；若偏差值Fi小于零，刀具的进给方向应为+Y，进给后的偏差值为Fi+xa 。

进行了一个插补循环后，插补循环数i应增加1。

最后进行终点判别。由式（4-7）可知，若插补循环数i小于N，说明直线还没插补完毕，应继续进行插补；否则，表明直线已加工完毕，应结束插补工作。

图4-4　逐点比较法直线插补的流程图

例4-1　图4-5中的OA是要加工的直线。直线的起点在坐标原点，终点为A（4，3）。试用逐点比较法对该直线进行插补，并画出插补轨迹。

解：插补完这段直线刀具沿X、Y轴应走的总步数为

N=xa+ya=4+3=7

图4-5　逐点比较法直线插补轨迹

逐点比较法直线插补运算过程见表4-3。

表4-3　逐点比较法直线插补运算过程

5.性能分析

刀具的进给速度和所能插补的最大曲线尺寸，是评定插补方法的两个重要指标，也是选择插补方法的依据。下面介绍逐点比较法直线插补的这两个指标。

（1）进给速度。设直线OA（见图4-2）与x轴的夹角为α，长度为l。加工该段直线时，刀具的进给速度为v，插补时钟频率为f。加工完直线OA所需的插补循环总数目为N。那么，刀具从直线起点进给到直线终点所需的时间为l/v。完成N个插补循环所需的时间为N/f。由于插补与加工是同步进行的，因此，以上两个时间应相等，即

由此得到刀具的进给速度v为

插补完成直线OA所需的总循环数与刀具沿X、Y轴应走的总步数可用式（4-6）计算，即

N=xa+ya=lcosα+lsinα

代入式（4-8），得到刀具速度的计算公式，即

从式（4-9）可知，刀具的进给速度v与插补时钟频率f成正比，其与α的关系如图4-6所示。在保持插补时钟频率不变的前提下，刀具的进给速度会随着直线倾角的不同而变化：加工0°或90°倾角的直线时，刀具的进给速度最大为f；加工45°倾角的直线时，刀具的进给速度最小，约为0.7f。

图4-6　逐点比较法中刀具的进给速度与α的关系

（2）能插补的最大直线尺寸。设插补器所用寄存器的长度为n位。把其中的一位用于寄存偏差值的±号，则偏差函数的最大绝对值应满足由偏差函数的递推计算过程（见表4-2）可知，偏差函数的最大绝对值为xa或ya。因而，直线的终点坐标（xa，ya）应满足

|Fmax|≤2n-1-1

若寄存器的长度为8位，则直线的纵、横终点坐标最大值为127。若寄存器长度为16位，则直线终点坐标最大值为32 767。