厄尔斯伯格悖论：探索矛盾之谜

厄尔斯伯格悖论由Ellsberg（l96l）基于具体的行为实验结果提出来的。在实验中，被测试者被告知，在一个有300个球的盒子中，l00是红球，而剩下的200个是黑球和黄球，但两者各自的数量没有给出。被测试的个体被要求在以下两组配对行动中分别作出选择决策，而行动的规则是每一个个体从盒子中随机地抽取一个球。

决策情景一

决策情景二

其中，行动l表示的意思：如果事件状态为“取出红球”，那么当事人将得到l00元，否则他什么也得不到，其余类推。现在就上述两个决策情景分别进行选择，厄尔斯伯格邀请哈佛大学的学生参与实验。实验结果是：对于第一个决策情景大多数人偏好行动l，而对于第二个决策情景大多数人则偏好行动4。

让我们以期望效用理论中的独立性公理来考察这些决策情景。首先，情景一中行动l和行动2在事件状态“取出黄球”下的后果是相同的（0元）。由独立性公理，这两个行为的偏好关系的确定与在事件状态“取出黄球”下的后果是不相关的。其次，情景二中行动3和行动4在事件状态“取出黄球”下的后果是相同的（l00元）。同理，行动3和行动4的偏好关系的确定与这个后果无关。

我们注意到：行动l和行动3（行动2和行动4）在事件状态“取出红球”和“取出黑球”之下的后果分别是相同的。因此，根据独立性公理，如果当事人偏好行动l且仅当他偏好行动3。显然，由期望效用分析的结果和上述实验结果是矛盾的。众所周知，理论的功能在于解释和预测，一个好的理论应当能够解释经验现象，并且作出与经验相一致的预测。然而在上述决策情景中，期望效用理论却不能实现这些功能，这就是所谓的厄尔斯伯格悖论。(www.xing528.com)

如果我们同时接受期望效用理论和厄尔斯伯格的实验结果，那么，一方面由“行动l偏好于行动2”可以推出“取出黑球”的概率小于三分之一，另一方面则由“行动4偏好于行动3”可以推出，“取出黑球”的概率大于三分之一，所以，从前提中推出矛盾。

目前，对厄尔斯伯格悖论主要有两种解读方法，它们各自提供了扩展主观期望效用理论的思路。第一种解读方法是，厄尔斯伯格决策情景涉及信息或知识的不完全性，因为它没有提供黑球和黄球的数量，在不确定性条件下，当事人通常是厌恶含糊性的（ambiguity aversion），而这种对不确定性的态度导致他的偏好关系违反了独立性公理。因此，为了消除厄尔斯伯格悖论，我们必须放弃独立性公理（但保留其他公理）。这个方案的代表性理论之一是肖凯特期望效用理论（Choquet Expected Utility Theory），它是依序效用理论的扩展理论。如前所述，依序效用理论是假定了我们知道每个事件状态为真的概率是客观的，在此基础上定义概率权重。肖凯特期望效用理论放弃了这个假定，它直接定义事件权重函数，这里的事件是一些子事件状态的集合。于是，在肖凯特期望效用理论那里，我们在计算行为的期望效用时只需把依序效用理论中的概率权重替换成事件权重。回到厄尔斯伯格悖论，首先我们计算四个行为的肖凯特期望效用，再由两个偏好关系可以推出：w（取出黑球）＜w（l/3），w（取出红球或者黄球）＜w（2/3），其中，w为事件权重。由于未知黑球和黄球各自的数量，这些不等式反映了当事人在决策时含糊事件权重的赋值通常会小于有确定概率的事件权重，即他是厌恶含糊性的。

这种方案的另一代表性理论是之前介绍过的累积远景理论，类似肖凯特期望效用理论，它放弃了这个客观概率的假定，定义事件权重函数，然后在远景理论的期望价值公式中将概率权重替换成事件权重。由于在厄尔斯伯格决策情景中没有“损失”的后果，这个理论和肖凯特期望效用理论对厄尔斯伯格悖论的解读和消除所采用的方法基本上是相同的。

第二种解读方法是，由于我们仅知道罐中黑球和黄球数目的总量，所以我们不能确定取出的黑球或黄球的概率。这导致我们可能无法为每个行为指派精确的期望效用（可能为一个集合），故两组偏好关系是不确定的和不可比的，这说明这些行为之间的偏好关系不满足弱序公理。如果我们武断地确定这些行为之间的偏好关系，将不免产生偏好的逆转而导致悖论。为了消除厄尔斯伯格悖论，这种解读方法提倡放弃弱序公理而保留独立性公理。它的代表性人物是Seidenfeld和Levi。Levi（l983）认为，在不确定状况下当事人有关事件状态的信念度用一个概率函数来表征是不现实的和不合适的，也就是说，在信息或知识不完备条件下，我们应该用一个概率函数集合来表征信念度，从而刻画概率的不确定性和无知。基于此，Seidenfeld（l999）在弱化弱序公理的基础上推出了期望效用理论。但是，他的理论只能表征那些确定的偏好。为了消除厄尔斯伯格悖论，Levi（2009）和Gilboa（l989）各自提出了概率不确定条件下偏好关系的确定规则：先计算所有行为的最小期望效用，然后找出其中最大的一个（称之为安全水平），再选择其对应的行为。这个规则通常被称为安全水平规则。在厄尔斯伯格决策情景中，四个行为的最小期望效用分别为l/3u（l00）、0、l/3u（l00）和2/3u（l00）。由于l/3u（l00）＞0，故当事人偏好行动l；因为l/3u（l00）＜2/3u（l00），当事人偏好行动4。显然，这和实验结果是一致的，从而消除了厄尔斯伯格悖论。