数学方法：一种高精度的科学概念符号化工具

（一）数学方法的内涵

“方法”一词，从汉字词源看，即行事之条理或度量方形之法，泛指一种标准和规则。在西方语言中，“方法”一词源于希腊文，表示沿某条道路行进。可见，方法是人们活动的步骤、程序和策略等。所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式所包含的可操作规则或模式。

对数学本身而言，数学方法是指人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的步骤、程序和格式，是达到数学研究和问题解决目的的途径、手段和操作总和，具有较明显的“行为规则”意义。人们在数学研究、数学学习和问题解决等长期的数学实践活动中，发现了许多运用数学思想的手段、途径或程序。同一手段、途径或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法^[1]。

（二）数学方法的特点

数学方法是对研究对象的数学模型从量的方面进行分析的方法。数学方法主要是在符合客观的前提下，使科学概念符号化、公理化，通过对数学符号进行逻辑运算和推导，得出数学现象，从而定量地揭示客观事物规律性。对研究对象这种定量的分析研究和处理过程，称为“数学方法”。

数学方法具有如下的特点。

1.高度的抽象性

虽然各门科学都具有抽象性，可是数学的抽象性程度更高，有时候甚至不容易看到它与现实世界有什么联系。人们在运用数学方法解决问题时，总是舍弃研究对象的其他各种性质和具体内容，只保留数量关系和空间形式。并且对这些数量关系和空间形式还要做进一步的抽象，把全部问题变成了数学符号之间的运算关系，对之进行分析研究，才能得出理想化的数学概念和定量描述事物的普遍规律。

2.高度的精确性(www.xing528.com)

精确性，是经典数学的一大特点，它把力学、热力学、电磁学等的基本规律，用微分方程式的形式一一表示出来，然后，再运用这些微分方程式去解决问题。数学方法之所以具有如此高的精确性，是因为数学是描述事物量的关系，而事物是质和量的对立统一，任何事物的量是严格确定的。事物的量虽然常常是以变化的形态出现的，可是，这种处于变化形态的量，在严格确定的条件下，也都有确定的数值。即使是数学中的概率与统计规律，其量的变化也是确定的。

3.严密的逻辑性

数学是从已确定的科学概念、定义出发，按一定的规则，以逻辑推理的形式来表述事物量之间的关系和空间形式。逻辑推理的特点是：由一个命题推论出另一个命题，由已知关系推论出未知关系，所得到的结论具有逻辑上的必然性。在数学中，逻辑推理常表现在数学定理的证明和方程式的求解上。数学定理的证明，有的必须是由已知的公理、定理，而给出新的数学定理的证明；数学方程式求解，要运用已知的定理、公理和量的关系，求出未知量的关系。证明和求解的过程，都要遵循严密的逻辑规律和推理规则，步步相接，环环紧扣，只要前提正确，论证合乎逻辑规律，所推论出来的结论就是可靠的。

4.充满了辩证法

运动和辩证进入数学，使全部数学具有辩证的特性。从初等数学到高等数学处处都闪耀着辩证法的光芒。在微分中，直线和曲线之间的关系是辩证的，曲和直是对立的，但在一些场合下，教师可以把曲线近似地看成直线，而在极限条件下，曲线就转化为直线。

5.应用的广泛性

华罗庚教授曾指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”数学方法有如此广泛的应用性，是因为它研究的对象就是事物的空间形式和量的关系，而客观世界中任意具体事物其存在、运动、变化和发展，都具有一定的空间形式和量的关系^[2]。