月亮位置测量方法与距离计算

§4-1 测量月亮的距离和直径

对于月亮的研究，我们面临的问题是：既然在不同地点观察到的月亮方位不平行，那么我们到底该怎么把握所有地点的观测结果呢？实际上，月亮有一个太阳和行星都没有的优势：我们是可以测量到月亮距离的。这就意味着我们可以通过月亮的方位和距离来确定月亮在空间中的真实位置，我们就可以在月亮运动的时候边测方位边测距离，从而将月亮在空间中的运动轨迹完全描绘出来。轨迹一出来，月亮和地球之间的相对位置变化就完全确定了，在地球上不同点观察到的月亮方位也就可以完全确定出来了！

我们来试试这个方案：

首先，我们得探究一下怎么测量月亮的距离。我们可以选一个月圆之夜，在A、C两地分别观测月亮。当观测到月亮升到最高时（此时在子午面上），我们在A、C两地分别测量一下月亮中心方位和重力方向的夹角，假如我们在A地测量到的夹角为147°39′，C地测量到的夹角为127°21′，那么由这两个读数我们可以画出下面这张图：

图4-1

如图4-1所示，我们画一个半径为63.71厘米的圆代表地球，在圆上根据41°52′的纬度标出A、C两点，并且将A、C分别与圆心连接，表示当地的重力方向。根据A地重力方向和测量到的夹角147°39′，可以画出一条直线代表A地看到的月亮方位，根据C地重力方向和测量到的夹角127°21′，也可以画一条直线代表C地看到的月亮方位。两条直线会交于一个M点，就代表月亮的位置。这时候，我们只要用尺子量一量图中任何一段长度，再结合比例就知道真实的长度了。

地球上不同点到月亮的距离是不一样的，我们比较关心地球球心和月亮的距离。我们量出DM的长度是3833.01厘米，这就代表地球球心到月亮中心点的距离为383 301千米。这个距离相比地球的半径6371千米来说还是挺大的，所以我们可以猜测地球上不同点到月亮的距离差别不是很大，而当我们量出了A、C两地和月亮的距离时果然发现：A、C、D三点和月亮的距离差别只有几十千米。

当然，我们还要估计一下这个测量值的可能误差：通过让A、C两个角都增大1′，我们就可以让月亮离地球的距离达到可能的最大值，由此得到月亮中心和地球球心距离为393 534千米，比原来的测量值大了10 233千米。同理，通过让A、C两个角都减小1′，我们就可以让月亮离地球的距离达到可能的最小值，由此得到月亮中心和地球球心距离为373 593千米，比原来的测量值小了9708千米。两个差值虽然都大于地球半径，但是相对总距离38万千米来说也不算太大，按较大的误差值10 233千米计算占比，也只得到2.67%。

为了让这个月地距离直观点，我们可以算算它是地球直径的多少倍：地球最大直径是12 756千米，383 301/12 756≈30。这就意味着要将近30个地球并排才可以到达月亮，由此你也可以很清楚地知道，图4-1只是示意图，不是真实的比例图。

另外，既然我们测量出了月亮的距离，那么我们完全可以根据这个距离和月亮的视直径来获得月亮的真实直径！而且一旦月亮的真实直径出来了，那么如果月亮和地球的距离会变化，我们就可以根据月亮视直径的变化以及真实的月亮直径来大致估算月地距离的变化。这样，其实我们只要在一个点就可以估计月地距离了！

接下来，我们就来测量月亮的真实直径：

图4-2

如图4-2所示，我们可以同时在眼睛和月亮之间放置一根小木棍，使得小木棍和月亮的直径在视野中是完全重合的。那么由图你会看到两个形状完全相同的三角形。其中，大三角形以月亮直径为底边，以月亮中心和眼睛间的距离为高；小三角形以小木棍为底边，以小木棍中心和眼睛间的距离为高。我们现在想知道的是大三角形的底边，由于我们已经知道了大三角形的高，因此，我们只要知道了大三角形的底边是高的多少倍，就可以知道底边的长度了。而这个倍数是可以通过测量小三角形来获得的。

有了测量的方案，我们可以在A地进行测量。首先，我们测量到月亮在视野中的直径为32′，其实不大，不考虑误差的情况下和太阳相等。然后，我们可以在距眼睛1米远的地方放置一根木棍，调整木棍长度使其和月亮的直径在视野中重合，此时我们测量到这根木棍的长度为0.92厘米，也就是0.0092米。那也就意味着这个倍数就是0.0092米/1米=0.0092倍了。我们通过之前的图可以量出A地和月亮间的距离为377 904千米，再乘0.0092倍就得到了3477千米。这样，我们就得到了月亮的真实直径。

当然，我们还要考虑误差。你可能会觉得误差可以这样计算：如果我们在测量木棍时选取的是精度为0.1毫米的游标卡尺，那我们考虑让木棍长度减少或增加0.1毫米，即变为0.91厘米和0.93厘米，然后再计算一次就可以知道大致的误差了。我们可以分别得到3439千米和3515千米，说明真实值会大致在3493 ～3515千米之间，相比之前测量到的3477千米分别差了16千米和38千米，按较大的误差值计算占比，也只得到1%左右。

但这样的误差考虑是错误的！木棍的长度来源于什么？它来源于我们对于木棍是否和月亮重合的判断，而这个判断过程涉及角度测量时的1′的不确定区间。实际上我们发现，当木棍在将近0.6毫米范围内变化的时候，木棍看过去都是和月亮直径重合的，而这范围是远大于游标卡尺那0.1毫米精度的！如此一来，误差就被增大到6%，而且我们也没考虑到对于木棍距离1米定位时的误差，等等。

误差的问题其实没有那么简单，你回顾一下我们之前我们测量月亮距离的过程，在测量过程中不但有角度的测量，还有作图时的长度测量，其中还用到了可能存在误差的地球半径值……这些都是误差的来源。考虑到误差的多样性，如果我们把所有的误差因素综合起来考虑，就会十分麻烦，所以在之前对于误差的考虑中，我们只是简化地考虑一下我们认为最大的那项^[1]。更重要的是，其实我们经常采取的策略是多次重复测量然后取平均值，并寄希望于平均值会更加接近于真实值。而之所以这么做，是因为我们觉得误差是随机的，所以多次平均后会将其尽量减少^[2]。现在，我们可以暂且认为月亮直径为3477千米左右，将近是地球直径的四分之一。

§4-2 研究方向的拟定

知道了如何测量月亮距离，接下来我们要去描绘月亮的轨迹。我们想到的测量方案是这样的：两个人各拿一个同步的钟表，然后分别出发去地球上的两个不同的地点，比如A、C两地，测量月亮什么时候运动到了星图上的哪个位置。那么当两个人再见面对比数据的时候，他们就可以知道任意时刻在地球上的不同地点观测到的月亮方位是怎样的了，他们也可以根据时间推测当时地球自转到了哪里，这样就可以确定出任意时刻月亮在空间中的位置。

对单个人而言，其实他的工作就是对照着钟表观测月亮在星图上的移动，和我们之前观测太阳的情形是一样的，不会非常困难。但是两个人要根据他们的数据推测在地心^[3]观测到的结果就非常麻烦了，他们要推算地球自转到了哪里，还要根据两个方位确定在地心看到的方位，还要确定距离，等等。所以，我们现在先考虑这样做：我们假设月亮在地球上不同点的方位是平行的，然后先用一个人的研究数据来大致估计地球上任何一个地点观测到的月亮方位变化，然后看这样的推测是否大致成立。如果大致成立，我们就可以考虑结合两个人的数据得到更准确的结果。这样，我们就可以避免出现花大把精力却得到荒唐研究成果的尴尬局面。

实际上，我们之前说过，A、C距离8504千米，测量到的月亮方位差别只有1°16′，也就意味着在地球上任意点观测到的月亮方位差别最大不超过3°，只相当于秒针走半格的角度。那也就意味着我们的简化研究成果最多也就3°的误差，实际上还是挺小的。如果我们发现实际的观测结果是和我们推测的结果差别不到3°，我们的研究就取得了一定的成果，并且我们还可以通过结合两个地区的数据把误差降低到1′（虽然太麻烦）。

接下来，我们要做的事情就是分别在A地和C地同时观测月亮在星图上的运动情况，然后我们先选择其中一个地点的观测结果加入模型来预测月亮的方位，看是否近似成立，然后再考虑结合两个地点的研究成果来得到更加准确的结果。

§4-3 一个周期内月亮在星图上的移动

首先，我们在研究太阳的时候就发现月亮总是离黄道比较近，所以我们可以大致估计月亮是在黄道附近运行的。假设我们在2016年6月的时候在A、C两地进行观测，经过将近30天，两地都观测到月亮一个周期的运动，且两地的观测结果都非常接近。接下来，我们先将C地的观测结果放一边，而假设我们只在A地进行了观测，然后用A地的观测结果来近似预测一些现象。

如图4-3所示，A地的观测结果告诉我们，月亮在星图上的移动轨迹很接近一个大圆，且这个大圆和黄道十分相近，只有5°左右的夹角。另外，月亮在大圆上的绕行方向和太阳也是相同。这两条轨迹交于两个点J1、J2，其中J1靠近春分点H1，J2靠近秋分点H3，都分别相距了10°左右。

还有一个问题是：月亮在轨道上的运行是否匀速？观测显示其大致是匀速的，但又不是完全匀速，这点和太阳也非常像。我可以大致描述一下这样的不匀速性：月亮从H1点附近运动到H2点附近花了6.1天左右，从H2点附近运动到H3点附近花了6.8天左右，从H3点附近运动到H4点附近花了7.5天左右，从H4点附近再运动回H1点附近花了6.9天左右。总计27.3天左右，也就是月亮在星图上运行一周所花的时间。当然，更准确的数值需要更长期的测量获得。

看样子，月亮在星图上的运行很简单嘛！一个大圆一个方向运动嘛！

其实并不是这样的！前面说的仅仅是简化后的结果，我们实际观察到的结果是：月亮并不是在图中的大圆上做着平滑的运动，而是沿着这个大圆做着波浪式前进的运动（大圆是我们根据这个波浪式运动画出来的），且平均一次波动的幅度会有10′左右，将近一天波动一次。所以你也可以知道，月亮会在J1、J2点附近多次经过黄道。

图4-3

图4-4　波浪式运动示意图

现在，我们自然会感到疑惑：难道月亮的运动真的这么复杂？实际上，我们非常怀疑这样的波动是由地球自转引起的，因为地球将近一天自转一次，和这里的波动周期正好吻合。由此我们猜测，一旦我们将两个地点的数据结合起来得到相对于地心的月亮运动轨迹，我们将会发现月亮的运动不再是波浪形，而是像我画出的平滑圆轨迹，而且月亮可能会一直沿着这个轨迹周期性地运动下去。

除了月亮的运行轨道，我们还测量了月亮视直径在一个周期内的变化（月缺的时候可以根据亮的部分描绘出视直径）。我们发现月亮视直径在其运行一周的过程中也变化了将近一个周期：月亮从H1附近运动到H3附近的过程中视直径在下降，从H3附近运动到H1附近的过程中视直径在上升，并几乎回到原来的视直径。但是在这大趋势下有小范围可察觉的波动，并且波动周期也大致是1天，可见这很可能也是受地球自转的影响。

我们测量到月亮最小的视直径为29′，最大的视直径为33′，由此，我们可以大致估计月地距离的变化范围：我们之前测量到当月亮视直径为32′左右的时候，A地和月亮的距离是37.79万千米左右。那么月亮看上去最大，即33′的时候，它离地球是最近的，且A地距离月亮大致为37.79/33×32≈36.6万千米^[4]；当月亮看上去最小，即29′的时候，它离地球是最远的，且A地距离月亮大致为37.79/29×32≈41.7万千米。不过要注意这里的两个距离指的是A地（而非地心）和月亮的最大最小距离，考虑到地心和A地距离为0.6万千米左右，我们就可以估计地心和月亮最小距离约为36.6+0.6=37.2万千米，最大距离约为41.7-0.6=41.1万千米。再考虑到我们测量视直径的时候存在1′的误差，所以我们可以大致估计平均误差为37.79/31≈1.2万千米（其中31为29和33的中间值）。所以月亮距离地球最近的时候应该在37.2万千米前后1.2万千米，距离地球最远的时候应该在41.1万千米前后1.2万千米。

这是我们在A地观测到的月亮在星图上的运动，而在这过程中，我们当然还同时观测了A地的月亮方位变化，并且我们发现月亮比太阳多一个可研究的内容——阴晴圆缺的现象。还有，月亮并不是像大多数人想象的总是在晚上出现，它在白天和晚上出现的频率是一样的。这次我们不妨玩点有意思的，我们忽略这些实际的观测结果，就假装自己在这一个月内只研究了月亮在星图上的运动，然后我们运用模型来推测月亮的方位变化、月亮的阴晴圆缺、月亮何时白天出现何时晚上出现，等等，然后我们再拾起观测结果，看推测结果和观测结果是否吻合。

§4-4 根据一个地点一个周期的运动给出的猜测

§ 4-4-1 月亮方位变化

考虑到月亮和太阳在星图上的运动轨迹非常相近，我们首先可以推测，月亮的方位变化和太阳的方位变化是非常相近的。所以为了让我们的推测简单点，我们来做一步简化：我们就假设月亮在黄道上运行，但是有一点不同的是，太阳在黄道上运行一周的时间是365.2天，而月亮只要27.3天。除了这点，我们还要忽略月亮在星图上半天将近6°的移动，这样，我们只要把太阳方位变化规律套到月亮上就可以了：

月亮每天的方位变化仍然是绕着当地的恒星旋转轴转动，扫过的轨迹平行于天赤道。月亮运行到H2点的时候，月出和月落的方向都最为偏北，中天时在正南方（以后一直保持正南方），高度最高；在接下来将近14天的时间里，月亮从H2渐渐移向H3再到H4，月出和月落的方向渐渐往南移，直到移动到H4点的时候，月出月落方向最为偏南，中天高度最低；接下来又是将近14天的时间内，月亮从H4渐渐移动到H1再回到H2，月出月落方向渐渐往北移，直到回到H2的时候月出月落方向最为偏北，中天高度又变为最高。这就完成了一个周期。

§ 4-4-2 月亮什么时候出现

月亮什么时候白天出现，什么时候晚上出现？其实无论何时，月亮都在地球的某一面，而在一天中地球会自转，所以除了那些太偏南或太偏北的地方，无论哪一天月亮都会升起（就像太阳都会升起），而且都有近半天时间是在空中的（就像太阳都有近半天时间在空中）。那么问题就转化为：什么时候月亮出现的这半天和太阳出现的这半天是重合的，什么时候是不重合的，什么时候又只重合一部分，等等。

我们可以用之前的图4-3帮助我们分析。但为了让问题简单点，我们不妨做一个简化：由于太阳相比月亮在星图上的移动得要慢得多，因此，我们可以先假设在这27天内太阳是不移动的，并且由于我们是在6月份进行测量，所以我们不妨假设太阳处于H2点不动（如图4-5所示）。之后我们再考虑这样的简化带来的影响。

图4-5

首先很容易知道的是，如果月亮运动到了H2点附近，月亮和太阳就在星图的同一个位置，结合地球的自转，我们就可以知道月亮和太阳是同升同落，即月亮在日出的时候升起，日落的时候落下，只出现在白天；在月亮渐渐从H2点移动到H3点的过程中，由于地球要多转动一个角度才能追赶上月亮，因此，月亮开始比太阳更晚升起，更晚落下，直到月亮运行到H3点的时候，变成在正午升起，在午夜落下，只出现在下午和上半夜；月亮继续从H3点渐渐运行到H4点，在这个过程中，月亮继续更晚升起更晚落下，直到月亮运行到H4点的时候，变为在日落时升起，日出时落下，整晚可见；在月亮从H4运动到H1的过程中，月亮升起和落下的时间继续往后推迟，直到其运行到H1点的时候开始变为在午夜升起，正午落下，只能在下半夜和上午才可以看到；月亮继续从H1点渐渐移动到H2点的过程中，升起和落下的时间继续往后推迟，直到它运行到H2点的时候又变为和太阳同升同落，这就完成了一个周期。

现在，我们再回头考虑一下太阳在这27天内的移动带来的影响。由于太阳在移动，因此，如果说月亮下次还要和太阳一起同升同落，那么月亮还要额外花点时间赶上太阳，对于其他点而言也是如此。从这里可以看出，太阳的移动仅仅导致循环周期的延长，并不改变其他推测结果。我们可以大致计算一下这个延长的时间：太阳在27天内移动了将近27°，所以月亮要额外运动27°才能赶上太阳；因为月亮移动360°要27天，所以月亮移动27°需要27/360×27≈2天，也就说明月亮和太阳的升落时间关系是以将近27+2=29天为周期变化的。

§ 4-4-3 月相问题

接下来，我们再考虑一下月亮的阴晴圆缺，或者说月相的问题。这个问题看起来很麻烦，其实不难，我们之前在粗略研究日食的时候就已经知道该怎么解释这个现象了。只要我们引入下面这两个假设，月亮的阴晴圆缺现象就可以得到解释了：1）月亮是一个球；2）月亮本身不发光。

月亮本身不发光，那月亮的光来源于哪里呢？当然是太阳啦！无论何时，月亮只能被照亮半面，由此我们猜测，由于太阳、月亮、地球三者的相对位置发生变化，因此，我们会从不同的角度看到这照亮的半面，从而导致月亮的阴晴圆缺。

我们可以先做一个小实验来看看我们的猜测是否合理。我们拿出一个小球，一半涂成白色，表示被照亮的半球；另一半涂成黑色，表示未被照亮的半球。然后我们从不同的角度看这个小球，并注意白色的部分呈现出怎样的形状。

图4-6

图4-6（c）是实验用的小球，左半球被涂成黑色，右半球被涂成白色。从图中的观测角度看，我们看到的白半球是图（d）的样子。印象中月亮有这样的形态啊！不就是凸月嘛！不错，我们继续。从我们观测的位置渐渐往右转动，我们将会看到白的部分越来越多越来越鼓，直到我们看到全是白的，如图（e）所示。这不就是满月的情形嘛！不错，继续。如果从原来的观测位置往左转动，我们看到的白的部分会渐渐减少，直到正好一半是白的，如图（b）所示。这不就是弦月嘛！再往左移动，白的部分就更少了，并且会继续从中间往右开始亏损，如图（a）所示。这不就是凹月或者弯月嘛！我们继续往左移动，会发现白半球越来越细，直到完全看不到。

月亮的任何一个相都可以通过从不同角度观察白半球得到，这就让我们对自己的假设更加充满信心了！接下来，我们要根据这个原理来猜测，太阳、月亮、地球处在怎样的相对位置关系的时候会观测到怎样的月相。

我们还是先假设太阳处于H2点不动，并且近似认为月亮在黄道上绕行，然后我们看月亮在不同位置的时候会呈现出怎样不同的月相。考虑到月亮远比太阳离我们近，我们要稍微转化一下模型：

图4-7

图4-7是我们从北黄极往下看的图像。月亮在绕着地球转圈，而太阳光呈平行光照射过来，由此我们去推测月亮在轨道上各个点呈现的月相。但这里有个问题是，我们之前说过，相对整个地球而言，太阳光可以被看作是平行光，但是相对于地月之间这么长的距离而言，太阳光还是平行光吗？

我们可以考虑两种可能结果：1）太阳光在我们的1′观测精度内相对于月地距离是完全平行的；2）太阳光在我们的1′观测精度内相对于月地距离是不平行的。前者会使月相的研究变得简单，而后者则给了我们一个机会——我们有可能以月地距离为基线测量到太阳的距离！接下来，我们就来找个方法判定其结果是平行还是不平行。

首先，我们可以通过图4-7大致判定，如果说太阳相对月地距离真的是平行光，那么当月亮运行到H1点附近的时候应该是一个弦月，而这正好是我们一个周期结束的日子，我们发现：此时的月亮的确十分接近弦月。这就说明，太阳光的确相对于月地距离是接近平行的。但是这样的检验是很粗略的，因为一方面，月亮不是真的运行到H1点；另一方面，太阳也不是正好在这时候运行到H2。不过没事，我们下面可以做更加精确的判定：

图4-8

如图4-8所示，弦月的时候，假如此时有人在月亮上测量太阳和地球的夹角1，那么他测量到的夹角一定会是90°。现在，我们再在地球上测量太阳和月亮之间的夹角2，假如这个角也是90°，也就意味着在月亮上和在地球上同时看太阳的方位是平行的，即太阳光相对月地距离平行；假如不是90°，就说明二者不平行，我们就可以根据这两个角构造小三角形测量太阳的距离了。

在一个周期观测结束时，我们发现月亮还不完全是弦月，但有着朝“标准弦月”变化的趋势，我们可以等待一段时间测量。没过多久，当我们判断月亮是非常好的弦月的时候，我们将两根铁丝分别对准月亮和太阳，然后测量两根铁丝的夹角。最终我们测量到这个夹角为89°51′。这个结果接近90°，也就说明太阳光相对月地距离的确接近平行。不过，也因为它和90°有点差别，我们现在可以用它来测量太阳的距离了！

§ 4-4-4 测量太阳的距离和直径

根据90°和89°51′两个角度，我们通过做小三角形获得日地距离相对月地距离的倍数为382倍，如果考虑前后1′的误差，则为344倍和430倍，分别差了38倍和48倍，由此已经可以估计出最大误差在13%左右了。接下来我们只要把月地距离乘以382就是日地距离了。但是这时候我们要注意到，我们是在地球表面的A点测量的，也就意味着我们测的是A点和太阳的距离，同时用的应该是A点和月亮中心的距离。那这个距离等于多少呢？在测量的这天，我们发现月亮的视直径和之前测量月亮距离时的视直径几乎相同，所以我们可以近似地使用之前测量到的A地和月亮中心的距离377 904千米。由此得到日地距离为382×377 904千米=1.44亿千米。再考虑另外两个倍数：344×37 7904千米=1.30亿千米，430×377 904千米=1.62亿千米，分别和1.44亿千米差了0.14亿千米和0.18亿千米。可以看到，这误差相对于地球直径来说大太多了，所以我们也没必要考虑地心和地表的区别了。这次我们的精度有点低，本质原因在于日地距离相比月地距离远太多，基线还是不够长。不过起码它给了我们一个大致的范围。

现在，我们可能还想问：既然月地距离可以用来测量太阳的距离，那能不能用来测量恒星的距离呢？很遗憾，不像太阳，我们找不到方法在不跑到月亮上的情况下获得角1，所以除非我们真的跑到月亮上，否则我们无法用这个基线测量恒星的距离。

接下来，我们还可以根据太阳的视直径32′，用测量月亮直径完全一样的方法来测量太阳直径。不过，我们其实可以换个非常简单的估算方法：太阳到地球的距离是月亮到地球距离的382倍，而月亮和太阳看过去一般大，也就意味着太阳应该也要有月亮的382倍大，即太阳直径要是月亮直径的382倍，即382×3477千米=1 328 214千米≈133万千米。再考虑误差：这个倍数不一定是382倍，可能是344～430倍中的任何一个，那么可以算得太阳的直径范围就大约是120万～150万千米之间，误差占比仍然是13%。

为了让日月地之间的比例关系直观，我们现在可以做一个大致的描述。首先，我们要连续摆上30个地球才能到达月亮，而假如正好有一个大球直径为月地距离，那我们还要连续摆上将近400个这样的大球才能到达太阳，或者说我们要从地球连续摆上30×400=12000个地球才能到达太阳。考虑到直径，需要4个月亮并排才能跨过地球，而需要400个月亮或者100个地球，又或者将近3个月地距离并排才能跨过太阳。可见太阳的确很远、很大。

§ 4-4-5 回到月相的研究

现在，我们回到对月相的研究。根据之前的研究结果，我们知道，相对于月地距离，虽然太阳光不平行，但其实还是相当接近平行的，所以我们不妨偷个懒再做一次近似，把太阳光当作平行光来研究月相，并且再次寻求图4-7的帮助。

在图4-7中，如果月亮运动到H2点，月亮和太阳就在同一个方位了，也就意味着月亮被照亮的半面正好背离地球，这时候我们是看不到月亮的；月亮从H2点渐渐移动到H3点的过程中，其被照亮的半面开始渐渐朝向地球，月亮也就渐渐从弯月开始趋向弦月，直到月亮运动到H3点的时候，其亮半面正好有一半朝向地球，此时就正好是弦月；继续，月亮从H3点渐渐移动到H4点，在这过程中，其亮半面越来越朝向地球，从而开始变得越来越鼓，直到运动到H4点的时候整个亮半面都朝向地球，此时是满月；接下来，月亮从H4点渐渐移动到H1点，在这过程中，月亮开始亏缺，直到运动到H1点的时候亮半面只有一半朝向地球，此时又是弦月；最后，月亮从H1点渐渐移动到H2点，在这过程中，月亮继续亏缺变成弯月，直至又回到H2点的时候，月亮被照亮的半面完全背对着地球，我们又看不到月亮了。这样就完成了一个周期。

我们再考虑一下太阳移动带来的影响。在这段时间内，太阳照射的方向转过了27°左右，所以月亮要想再回到太阳的位置从而不被看到，就需要额外转过27°，也就意味着月相变化周期和之前的月亮与太阳升落时间关系的周期是一样的，都是29天左右。

§ 4-4-6 三者的总结

有关月亮运动的三个主要内容都被我们分别考虑了，一个是月亮每天的方位变化，包括在哪个方向升起，在哪个方向落下，升多高，等等。这个变化的周期很接近^[5]月亮在星图上的运动周期，即27天左右。还有就是月亮和太阳的升落时间关系，即什么时候月亮白天升起，什么时候晚上升起，等等。这个变化的周期是原来的27天加上因太阳在星图上移动造成的附加的2天，即29天左右。最后一个是月亮的月相变化，它的周期也是29天左右。这三者肯定是同时发生的，我们接下来就要把它们结合起来做一个总结：

有一天，我们无论如何都找不到月亮在哪里，从这一天开始，到了第二天早上，我们会发现当太阳升起后没过多长时间，在非常接近太阳的方位缓缓地升起了一个十分细小的月牙。当太阳在正午升到最高点后，它也很快升到了最高点，当太阳落下后，它也很快消失在地平线了。在接下来的5天里，太阳升起后，月亮升起的时间从日出渐渐延迟到中午，落下的时间也从日落渐渐延迟到午夜，同时它和太阳之间的角距离也从0°渐渐拉长到90°，月相从弯月渐渐变成了弦月；在接下来的7天时间里，月亮升起的时间继续从中午延迟到傍晚，落下的时间从午夜延迟到日出，和太阳之间的角距离也从90°拉长到180°，月相从弦月渐渐变成满月；继续，接下来的7天时间里，月亮升起的时间从傍晚渐渐延迟到午夜，落下的时间从日出渐渐延迟到日中，和太阳之间的角距离也从180°又重新拉近到90°，月相也从满月渐渐回到弦月；最后7天时间里，月亮升起的时间从午夜渐渐延迟到日出，落下的时间从日中渐渐延迟到傍晚，和太阳之间的角距离也从90°重新拉近到0°，月相也从弦月渐渐变得看不见。这就完成了一个周期。这一个周期一共经历了29天左右。

你可能会被这么一大段话绕晕，因为这些是对整体情况总结的，比较复杂。如果我们考虑一些具体的推测，比如推测日落后月亮的位置和形态，就会简单得多：第一天，月亮跟着太阳一起落山。第二天，太阳落山后，月亮在太阳稍偏东（你从西向东朝天空划过一条弧线，这里的偏东指的是在这条弧线上的偏东）的位置出现，呈小月牙状，很快朝西落下。一天天过去了，太阳落山后，月亮的位置越来越偏东方，也越来越饱满，落下的时间也因为其和西方地平线距离越来越远而变得越来越晚，直到有一天，太阳落山后月亮刚刚从东方升起，呈满月状，整晚可见。再往后，太阳落山后月亮还没升起，我们得等一段时间才能看到月亮升起，并且等的时间越来越长，看到的月亮也越来越亏缺，直到我们发现月亮推迟到日出时才升起，它已经变成一个几乎看不到的小月牙了。这就完成了一个周期。

你会发现，我在这还没有把月亮升起落下的方向、中天高度等加入进去，这是因为这一项的周期是27天而不是29天，所以它和前两项并不同步。你会看到，它和前两者的关系会随着月份而变化。

我们先来推测一下6月份的情况。6月份，太阳在H2点附近，我们就可以推测我们看不到月亮的那一天，月亮和太阳是同升同落的，而考虑到这天是夏至日，那么月亮升起和落下的方向就最为偏北，中天高度也最高。弦月的时候，月亮运动到H1或H3点附近，那么月亮的运动就和春秋分时太阳的运动一样，即从正东升起从正西落下，中天高度适中。满月的时候，月亮运动到了H4附近，那么月亮的运动就和冬至时太阳的运动一样，即升起和落下的方向最为偏南，中天高度最低。对于其他月份，你也可以类似地推测，我就不多说了。

§ 4-4-7 全球和长期的猜测

接下来我们面临着两个问题：1）我们只考虑了地球上的一个地点A的推测结果，那其他地点呢？2）我们仅仅得到了一个周期内的观测结果，那接下来会怎么样呢？

对于第一个问题，你可能会说：“回顾之前的推测过程，我们并未用到某个特定地点的任何性质，也就意味着我们的结论是适用于全球范围的。”

但是仔细想想，在北极或者南极有时候是看不到太阳，从而也可能看不到月亮，所以之前的推论肯定会随着不同地点而变化。那怎么变化呢？就方位变化、月亮和太阳的升落时间关系而言，我们完全可以借用太阳一章中的经验，将天球缩小成投影球放到各个地点研究，或者根据纬度改变旋转轴和地面的夹角获得新的推测结果，这在原则上是和太阳一章的内容重复的，所以我就不多说了。考虑月相的话，即使我们不用平行的假设，地球上不同地点同时观测月亮的方位差别最多也不到3°，这就相当于问：对于一个被照亮一半的球，我们在某个角度看这个球，与转过3°再看这个球，看到的亮半球差别有多大呢？通过做实验你也会知道，其实差别是非常小的（3°仅仅是秒针走半格的角度，能有多大啊），所以就月相而言，我们也可以近似地说：当我们在地球上某个地点看到某个月相的时候，地球上其他地点看到的月相也是这样的。

接下来，我们考虑第二个问题，即以后会怎样的问题。这一个月的推测结果依赖于一个月内观测到的月亮在星图上的移动，而考虑到我们并没有继续观测下个月、下下个月等的运动情况，所以原则上我们是无法知道以后会怎样的。但是，我们可以先猜一下。其实我们非常倾向于猜测，月亮会一直沿着我们之前画的大圆波浪式地周期性运动下去，那么之前一个周期的研究成果就可以运用到下一个，下下个……无穷多个周期之后。再退一步说，其实只要月亮是贴近黄道朝着一个方向运动，且周期稳定在27天左右，那么即使它的轨道会有变化，所有的推测过程也都是和上面相同的。

如此一来，我们就推测出了全球观测到的月亮运动情况，也猜测了以后的情况。对比这一个月在A地实际观测到的结果，我们发现它和推测结果相当吻合，所以即使我们没有到其他地点检验，我们也相信对于其他地点的推测是正确的。

好像这个月的可能的猜测都出来了，接下来，我们要么进行更长期的观测，以验证月亮是否一直沿着大圆波浪式周期性运动，要么是结合两个地点的观测结果，来给出从地心看到的月亮运动轨迹，看它是不是如我们所猜测的沿着大圆平滑地运动，进而给出更准确的全球推测结果。不过我们不急，因为我们在研究月相的时候发现了一个问题，这引领我们开启对日月食现象的研究。

§4-5 对于日月食尽可能地猜测

§ 4-5-1 对于日月食发生条件的大致分析

不知道在前面对于月相的研究中，你有没有这样的疑问：当月亮运动到H2的时候，它处于日地之间，那月亮不就挡住太阳形成日食了吗？还有月亮运动到H4的时候，地球处于日月之间，那地球不就挡住太阳形成月食了？

首先，从一直以来的生活经验来看，我们的确看到过日月食的现象，但是就我们这次一个周期的观测而言，由于月亮只运行到H2附近，而并不是真的运行到H2，因此它只会很接近太阳但不会挡住太阳。同样的，这个周期内月亮只是运行到H4点的附近，这种情况下月亮地球太阳不在一条直线上，所以这次地球并不会遮住太阳光形成月食。不过，我们可以判断再过几个月当太阳运行到了J1或J2时，月亮就可能正好碰到太阳把太阳遮住形成日食，或者正好日地月三者处在一条直线上形成月食。但问题是，我们发现月亮在其大圆轨道上的运动是波浪状的，而且月亮和太阳的运动又不是匀速的，所以就日食而言，我们很难预测太阳和月亮会不会正好碰到，而即使碰到又会怎样碰到？是部分碰到，还是全部碰到？同样，对于月食，我们也很难预测月亮是不是会正好跑到地球的影子里，而即使跑进了又会是部分进入还是全部进入。

这些都需要更加长期的观察才可以得知。不过，我们有点等不及，我们不妨就只根据一个月的研究结果来猜猜所有可能的情况，并且看看能不能尽量多获得一些我们感兴趣的问题的答案，我们先从日食开始。

§ 4-5-2 对日食尽可能地猜测

首先，我们得猜测一下在地面观测的日食大致上会怎样发生。天球以地球为中心自东向西转动，从而导致我们观测到恒星从东方升起沿着一条弧线运行又从西方落下，而太阳在天球星图上缓缓地朝着天球转动的反方向移动，就会导致我们观测到的太阳从东方升起到西方落下的时间相比恒星有一个延迟。同理，月亮也会有一个延迟，而且由于月亮在星图上运动得更快，因此，其延迟时间要比太阳更长。总结起来就是：每天恒星、太阳、月亮在天空中从东方往西方扫过的速度是依次下降的。这就意味着，当日食发生时，月亮在天空中的移动速度要慢于太阳，从而在我们看起来是太阳主动经过月亮被遮住，由此可以推测太阳是先被遮住西侧，然后是东侧，最后逐渐脱离这块不透光的区域。

接下来，我们再考虑有可能存在哪些日食：我们之前在对于月亮视直径大小的研究中说过，在一个周期中，月亮的视直径呈现出从29′到33′的周期性变化，并且变化周期也是27天左右。那我们就猜测以后月亮也是呈现这样的周期变化，那么我们看到的月亮视直径就被定在了29′到33′之间。而太阳的视直径基本上保持在32′。从两者视直径的不同可以知道，有时候月亮看过去比太阳大，有时候月亮看过去比太阳小，我们再考虑太阳可能从不同的角度经过不透光的月亮，那就可能存在这3种日食：

图4-9

1. 当月亮正好和太阳一样大或者比太阳大，并且太阳笔直朝向月亮运行时，太阳就会逐渐被全部遮住。我们叫这样的日食为日全食。如图4-9（a）所示。

2. 当月亮比太阳小，并且太阳笔直朝向月亮运行时，太阳就会逐渐被遮住一部分，直到月亮进入太阳的中间区域时，我们就看到太阳变成了一个亮的圆环。我们叫这样的日食为日环食。如图4-9（b）所示。

3. 当太阳移动的方向稍微偏离月亮时，不管月亮有多大它只会遮住太阳的一部分，并且将太阳分为亮暗分离的两部分。我们叫这样的日食为日偏食。如图4-9（c）所示。

还有一个问题是：日食持续的时间会有多长呢？我们可以这样考虑：在地面，我们会观察到太阳相对恒星的运动一天延迟1°左右，而月亮相对恒星的运动一天延迟13°左右，并且太阳和月亮的延迟方向几近相同，那我们就可以说月亮相对太阳的运动一天延迟12°左右，即如果我们假定月亮定在空中不动，太阳就会以一天12°的速度，即1小时0.5°的速度在天空中移动。由于太阳和月亮的视直径都近乎0.5°，所以太阳要移过一个月亮直径被完全遮住就需要1小时，再移出一个月亮直径从而完全恢复光芒又需要1小时，总共2小时。所以我们可以判断，对日全食来说，太阳从开始亏缺到完全恢复光芒需要2小时左右。在2小时的时间里，太阳在天空中划过了30°左右，不算太大的角度。其他情况的日食也可以类似地考虑，当然还要注意这里只是一种粗略的估计。

我们再考虑全球的问题：一个地点观测到日食的时候，地球上的其他地点会观测到日食吗？如果会观测到，那么不同地点观测到的日食是一样的吗？

首先，我们可以定性地判断，对地球上的不同地点而言，它们看到的太阳方位都是平行的，那假如月亮的方位也是平行的，那任何点观测到的日食就都是同步的且一模一样；但是因为月亮的方位在不同点不平行（而且差别可以大于32′），所以日食发生的时候，不同点一定会有不同的观测结果。

为了让我们更好地理解，我们不妨假想这样的一个实验：假如在我们前方几十米远有一个圆形的窗户透着光，我们随手拿起一个瓶盖，将瓶盖放于眼前的合适距离，直至瓶盖在视野内将那个圆形窗户完全遮住。这时候我们稍微摇摇头使我们的眼睛动动位置，瓶盖就会从完全遮住窗户变成部分遮住窗户，如果摇动的幅度足够大，甚至可以让整个瓶盖完全错开窗户，从而看到所有从窗户外透进来的光。

很明显，在这个实验中，窗户代表太阳，瓶盖代表月亮，眼睛的不同位置就代表着地球上的不同位置。这个实验意味着，我们在一个地点看到太阳被全部遮蔽的时候，另外一个地点看到的太阳可能是被部分遮蔽，也可能是完全不被遮蔽。

接下来，我们将通过另一个思想实验更仔细地分析：

图4-10

如图4-10所示，假如我们可以自由地在太空中翱翔，那么我们只要运动到太阳和月亮的延长线附近，就时刻有机会看到日食，而图中被我命名的4个地区就是可以看到日食的地区。在本影区，我们将会看到太阳的光芒被完全遮住（日全食），在伪本影区，我们会看到太阳的中间地区被遮住，但是边缘的环状地区还闪烁着光芒（日环食），而在两个半影区，我们将会看到太阳被部分遮住，但不会出现环状边缘闪烁光芒的情形（日偏食）。

要注意，这里说的是仅仅是状态，而不是整个日食的过程。如果我们开着宇宙飞船从外面的地区先穿过一个半影区，再穿越本影区，再穿过另一半影区到达外面的地区，我们就可以看到日全食的整个过程了。如果我们先穿过一个半影区，再穿过伪本影区，再穿过另一个半影区，我们就可以看到日环食的整个过程了。如果我们只穿过一个或两个半影区，我们就可以看到日偏食的整个过程了。

不过，你在这可能会问了：“日全食和日环食还可以理解，对于日偏食，怎么可能在不经过本影区和伪本影区的情况下连续穿过两个半影区呢？”

实际上半影区并没有两个，它是连通的一个区域，只不过当我把三维空间用二维平面表示时把它截成了两部分，这点你仔细想想就会知道。

由这个思想实验，我们可以得到这个结论：既然我们在地球表面可以看到日食，也就意味着这些影子区域会被投射到地球表面，并且还会在地球表面移动。可以想象，当月亮离地球近的时候，截出的影子区域只有本影区和半影区，在地球上只能看到日偏食和日全食；当月亮离地球远的时候，截出的影子区域只有伪本影区和半影区，在地球上只能看到日偏食和日环食。我们现在考虑两个极端：一个是地球截出的本影区最大可能会有多大，另一个是地球截出的伪本影区最大可能会有多大。这两个端点定了，我们就知道地球可能截出的影子范围了。

当月亮离地球最近的时候，本影区是最大的。此时，月亮的视直径为33′，太阳的视直径为32′，彼此之间相差1′，从而视半径就相差0.5′，如图4-11所示。

图4-11

现在的问题就等价于：假如我们现在处于地球截出的本影区的中心点，我们要移动多少距离才可以看到月亮的方位转过0.5′呢？这个距离就是本影区的半径了。

我们之前说过，在A、C距离为8504千米的情况下月亮转过1°16′角，由此可以同比例计算出转过1′需要的距离为112千米，转过0.5′就需要56千米。那也就是说本影区的半径为56千米，直径为112千米，所以在发生这样的日全食时，在一个112千米宽度的地区内都能看到日全食。

这样的计算过程涉及下面这几个主要误差：

1）112千米是直线距离，不是地表弧线距离。如果考虑弧线距离，这个值会稍微大一点。但是想到之前研究珠穆朗玛峰的经验，对于112千米这么小的距离又可以忽略弧线距离和直线距离的差别。

2）我们这里推测时使用的“在A、C距离为8504千米的情况下月亮转过1°16′角”是对应于之前月亮较远的情况下，而考虑到此时月亮离地球最近，所以在保持8504千米距离不变的情况下，这个转过的角度会大于1°16′，从而计算出的转过1′需要的距离会变小，最终本影区直径就会略小点。

3）在根据“在A、C距离为8504千米的情况下月亮转过1°16′角”进行推测的过程中，我们没有仔细分析当时A、C两地连线和地月连线的角度关系，从而其实不能盲目套用到其他情况。

4）地球表面并一定是垂直截出本影区，它可以“斜斜”地截，从而截出的本影区可以更大。

5）月亮和太阳的视直径存在测量误差，而这个误差会在计算过程中被放大。你想：假如实际月亮视直径是33.5′，实际太阳视直径是31.5′，那么最终我们要转过的角度就需要1′，结果就变成原来的两倍了。

这些误差的存在就告诉我们，刚刚得到的112千米仅仅是一个估计值。

接下来，我们考虑一下此时半影区有多大。同样的，假设我们处于本影区的中心，那么我们要在地面移动多少距离才可以看到月亮的方位转过32′+0.5′=32.5′（如图4-12所示），从而可以看到太阳完全不被遮挡呢？

图4-12

转过1′需要的距离为112千米，那么转过32.5′需要的距离就是32.5×112=3640千米。要注意到这里计算的半影区半径中实际上还包含着半径为56千米的本影区，所以其实半影区是一个内半径为56千米、外半径为3640千米的大圆环区域。按照真实比例画就会是图4-13所示的样子，而且如果考虑地表弧线距离的话，会更夸张。

图4-13

所以我们就知道，当月亮的影子在地球上移动的时候，虽然只有本影区扫过的小范围地区可以看到日全食，但是在半影区扫过的大范围地区还都是可以看到日偏食的。

考虑了月亮离地球最近的情形，我们再考虑月亮离地球最远的情形，此时，伪本影区是最大的。

月亮离地球最远的时候，视直径变为29′，太阳的视直径仍为32′，二者相差3′，从而视半径差1.5′。现在同样假设我们站在伪本影区中心，那我们要移动多少距离，才能看到月亮转过1.5′呢？分析方式和前面是一样的。转过1′要112千米，那转过1.5′就要112×1.5=168千米，那么伪本影区直径就为336千米。误差问题也可以像之前那样讨论。

可以看到，336千米比112千米大了不少，这就说明日环食可见区域比日全食大，而且，考虑到只有当月亮视直径在32′～33′的时候才可以发生日全食，而当月亮视直径在29′～32′的时候就能发生日环食，所以日环食应该会比日全食更经常发生。

接下来，我们再考虑半影区的范围有多大。同样的，假设我们处于伪本影区的中心，那么我们要在地面移动多少距离才可以看到月亮的方位转过32′-1.5′=30.5′，从而可以看到太阳完全不被遮挡呢？

30.5×112=3416千米。这说明此时的半影区域是内半径为168千米、外半径为3416千米的圆环地区，按比例绘制图形就会是图4-14所示的样子。虽然这里我们也没考虑地面弧线距离，但这张图明显比图4-13均衡多了。

好了，现在我们大致知道地球截出的月亮影子是什么样的了，那么一旦这些洒在地球表面的影子移动起来，在地面上的不同地方就会看到不同的日食现象。我们自然会对这些影子究竟为什么会移动、移动的方向又是怎样感兴趣，不妨来分析一下：我们要先假设地球是不自转的，那么太阳和月亮就在天球的带动下自东向西地绕着地球转，但是因为太阳转动更快所以它会追上月亮并反超月亮，而在追上并反超的过程中，月亮在地球上的影子会往反方向运动，即自西往东移动（如果你觉得不好理解，你可以做这样一个思想实验：你拿着一把手电筒照着某个物体，手电筒会在这个物体背后会留下一个影子。如果你的手电筒朝着一个方向移动了，那么这个物体的影子会随着手电筒的移动往反方向移动）。所以一旦发生日食，对于地球上能观测到的两个地点，我们可以判断偏西的那个地点会更早观看到日食。当然了，这里考虑的影子移动方向只是大致的，而究竟是偏南还是偏北就得具体情况具体分析了。

图4-14

以上就是我们通过一个月来的观测结果对于日食尽可能多的猜测，当然，你还可能猜测出更多信息，不过我们就此打住，继续往前研究一下月食。

§ 4-5-3 对月食尽可能地猜测

月食有点不一样了，因为这次是月亮跑到地球的影子里，所以我们得知道地球的影子有多大才可以。对于地球的影子，自然也可以分出本影区、半影区、伪本影区。那现在问题就是：以月亮和地球的距离，月亮是会经过地球的本影区还是伪本影区呢？还是都有可能进入？如果进入，则截出的影子范围又有多大呢？

对此，你可能会说：“你仔细分析了吗？你确定地球的影子和月亮的影子类似？你看图4-15，相对于地球而言，太阳光就是平行光，那平行光照在地球上留下影子就都是本影，而且本影区直径正好是地球直径，哪来的半影区和伪本影区啊！”

图4-15

但是，问题是，太阳比地球大，那么我们肯定可以画出图4-16来：

图4-16

可以看到，在图4-16中，4个影子区域都是存在的。其实问题出在，我们很容易误以为太阳光是绝对的平行光，而忽略这里的平行光的含义是我们在1′的观测精度内无法发现在地球这个范围内太阳光的不平行性。但可以想象，只要经过地球的太阳光有一点点不平行（实际上由图可以知道肯定不平行），那么一旦延伸足够长的距离，其产生的效应就会被放大，从而四个影子区域都是存在的！

接下来，我们要研究月亮有可能穿过哪些影子区域，从而获知有哪几种可能的月食。

由于我们之前已经测得日地距离为1.44亿千米、太阳直径为133万千米、地球直径为12 742千米，以及月亮的距离在37.2万～41.1万千米之间，那么日、月、地三者的位置和大小关系都确定了，所以要么通过计算，要么通过同比例绘图，我们总可以获得所有想知道的信息：

首先，我们可以得知地球本影最远点的位置，即图中本影区和伪本影区的交界点O的位置。我们得到O点和地球的距离为139万千米左右，而月地间距离只在37.2万～41.1万千米之间变化，这就说明月亮只可能通过本影区和半影区。另外，我们还可以得知月亮通过的本影区直径为8774 ～9332千米，平均为2.6个月亮直径左右。对于半影区，我们得到月亮轨道截出的范围直径在16 211 ～16 574千米之间，平均为4.7个月亮直径左右（包括了本影区的直径），由此我们可以得到图4-17：

图4-17

从图4-17出发，我们先分析一下月食的过程：当月亮进入半影区后，地球仅仅遮住了一部分的太阳光，所以此时月亮只是变暗，并不消失。而后月亮从半影区进入本影区，由于本影区的月亮完全失去了太阳光的照射，所以这部分的月亮会完全消失。月亮再从本影区出来的时候，又要进入半影区，稍微恢复一下亮度，而后完全脱离半影区才能恢复全部亮度。

从这里的分析可以看出两类月食，一类是进入半影区仅仅变暗的月食，一类是进入本影区完全消失的月食。为了区分两类月食，我们不妨叫前者为半影月食，后者为本影月食（我们通常说的月食指的是本影月食）。而且可以看出，发生本影月食之前一定会发生半影月食，但是发生半影月食之后并不一定会发生本影月食。

当然，我们还想根据月亮是部分进入还是全部进入影子区域，从而区分出全食、环食和偏食。对于本影月食很简单，由于本影区范围很大，达到2.6个月亮直径，所以在本影区只可能发生全食和偏食，不会发生环食。但对于半影月食来说就有点问题了，我们之前的数值其实只是估算且都取平均，而图中的半影区很接近1个月亮直径，那到底是大于1个月亮直径还是小于呢？如果是大于，月亮可以全部进入半影区，我们就可以分出全食和偏食；但如果是小于，月亮就只能部分进入半影区，我们就可以分出偏食和环食（但是这里的环食还有一部分在本影区内）。这个应该会随着地月距离的不同而有所不同。

接下来，我们可以非常快地解决这个问题：当一个地点看到月食的时候，其他地点的观测结果是怎样的？答案很简单：月食对整个地球而言都是一样的。就像一盏灯，如果它是被遮住光亮，那可能其他地方的人还能看见它；但是一旦这盏灯熄灭了，那么所有人都看不见它了！不过当然，对处于白天的那半球人而言，月亮在地平线下，他们是看不到月食的。

然后我们考虑一下月食发生的过程具体是怎样的。由于地球影子的移动表征着太阳的移动，因此，我们可以想象一个暗太阳处于空中表示地球的影子，那么暗太阳的移动和亮太阳是完全相同的，只不过它在日落时从东面升起，日出时从西面落下，大小和地球影子相同。这个暗太阳会从东面以相比月亮以更快的速度侵蚀月亮，那么月食就会从东面开始，西面结束，和日食正好相反。

我们再考虑一下月食经历的时间有多长。

我们先来考虑一种最简单、最特殊，也是时间最长的月食，即月亮从地球本影的正中间穿过的情形。如图4-18所示，为了简单起见，我们假定地球的影子不动，而月亮以一天12°（这是月亮相对于暗太阳的运动速度），即一小时0.5°（约等于一个月亮视直径）的速度进入影子。由于半影区的环部厚度为1.05个月亮直径，即1.05×0.5°，那么月亮的前端就要花1.05个小时才能到达半影区和本影区的交界处，同理，还要花1小时时间完全进入本影区，花1.6个小时到达本影区和半影区边界，再花1小时完全进入半影区，最后花1.05小时完全脱离半影区。总计1.05+1+1.6+1+1.05=5.7小时，其中本影月食总长3.6小时，而月亮完全被遮住的时间长达1.6小时。

可以看到，月全食发生的时间远长于日全食发生的时间，不过很明显，这里考虑的是时间最长的一种情况，其实还存在其他情况，比如下面这种时间最短的情况：如果月亮不是径直进入本影区，而是偏离一个角度进入，使得其只穿过一个月亮直径的本影区域，那么此时的本影月全食时间总长度就是2小时，其中被完全遮住的理论时间为0。所以我们可以判定，本影月全食时间在2小时到3.6小时之间。对于其他类型的月食也可以进行类似的讨论。

还要注意到的是，因为月亮和地球的距离会变，月亮、地球影子的运行速度也会变，所以不同的情况下会有不同的结果，我们得到的仅仅是粗略的估计。

§ 4-5-4 一年发生几次日食或月食

到现在，我们已经分析了存在哪几种可能的日月食；日月食发生时是从哪个方向开始侵蚀的；不同地点会观测到怎样不同的日月食；日月食的持续时间有多长，等等。但是还有一个我们最感兴趣的问题没有得到解决：究竟一年会发生几次日月食，又会在什么时候发生？

实际上，我们之前在准备研究日月食的时候就说到过这个问题，但是考虑到月亮的运动轨迹是波浪形的，所以我们预感到预测会非常困难。不过，这次我们可以从地心的角度来猜测一年会有几次日月食，因为我们猜测如果从地心观测月亮，月亮的运动轨迹会是平滑的轨迹，这就让预测变得简单多了。在考虑完地心的情况后，我们再看看能不能将研究成果转到地面。

图4-18

图4-19

如图4-19所示，我们猜测，如果我们在地心进行观测，月亮的轨迹就是图中的大圆（我把天球省略了），相对于黄道，我们不妨叫这个大圆为白道。黄道和白道相交于J1、J2两个点，并且两个轨道的夹角为5°。那么现在的问题是：当太阳在黄道上平均365天运行一周，月亮在白道上平均27天运行一周时，一年会发生几次日月食呢？

我们先来考虑日食。

首先，从定性的角度来想，日食肯定发生于这种情况：当太阳运行到J1或 J2附近的时候，月亮也正好经过这个位置，那么月亮就有可能和太阳相碰，从而遮住太阳。那也就是说，我们要在J1、J2两个点附近进行思考。

为了找到可能发生日食的轨道区域，我在黄道上的J1点旁边找了两个点A、B，这两个点和白道上最近点的距离都是太阳半径和最小月亮半径的和30.5′（太阳直径为32′，从而半径为16′，而月亮的最小直径为29′，从而最小的半径为14.5′，16′+14.5′=30.5′）。之所以要定出这两个点，是因为当太阳处于A、B之间的时候，无论月亮视直径多大，月亮经过太阳的时候必定会遮住太阳形成日食。

接下来，我们要做的是，确定出太阳在A、B间所逗留的时间。如果这个时间大于29天（为什么不是27天？），那么在这期间月亮至少会经过太阳一次形成日食；如果这个时间小于29天，那么在这期间月亮可能经过太阳一次形成日食，也可能不经过太阳。我们一般把这个时间叫作食季。

要获得食季，我们要先获得A、B间的角距离（其一半称为食限），然后根据太阳运动速度计算食季。根据地球的大小、月地距离、白道和黄道的夹角等等，我们通过按比例缩小制作模型或者计算的方式，得到食限将近为6°。由于太阳平均一天运行1°，也就意味着食季为12天左右，远小于29天。那我们就可以判断，一年最少发生0次日食，最多发生2次日食（因为还有一个J2点可以完全类似地讨论）。(www.xing528.com)

这样的结果是相对于地心而言的，我们现在要将范围扩展到全球。首先可以判断的是，在地心可以看到日食时，在地球表面也一定可以看到日食，但是在地心看不到日食的时候，在地球表面仍然有可能看到日食，所以对整个地球来说，日食的食限和食季肯定会比之前的要长。那具体是多少呢？其实我们可以对全球的每个点用之前的方式分析，找出可能的最长食限，然后根据这个食限获得对于全球而言的食季。运用这种方法我们获得了日食的食季是30多天（这个分析和计算过程很复杂，我在这里省略了），明显超过29天，所以我们可以判定对整个地球而言，1年至少发生2次日食，最多发生4次日食。

我们还可以知道日食发生在什么时候。由于J1、J2点在春秋分点背离太阳运动方向10°左右的位置，我们可以猜测如果发生日食，则时间会在春秋分前10天左右的时候，即3月10日左右和9月10日左右。当然因为食季有一定的长度，所以这只是个大致的时间点。

我们再考虑一下月食。

对于月食，其实地心就可以代表全球的情形了，因为月食发生的时候全球都可以看到，不发生的时候全球也都看不到。那么我们这次只要把太阳换成地球的本影（就不考虑半影月食了）进行完全一样的分析就可以了。我们得到月食食限为10°左右，由此就可以获得月食的食季为20天左右，小于29天。那么我们就知道一年最少发生0次月食，最多发生2次月食。

同样的，我们可以推测月食发生时间。这个时间肯定是和日食时间很接近的，因为一年中太阳就那几天运动到J1、J2点。而且我们可以知道，有可能我们在一个月中既有机会看到月食又有机会看到日食，且两者间隔的时间为29天的一半。

§4-6 两个地点观测结果的综合

我们已经充分利用了这个周期的观测结果猜出了很多我们感兴趣的问题的答案了。其中，对于方位变化、月相变化、和太阳升起时间关系等问题，通过对比这个月的观测结果，我们发现二者相当吻合。至于日月食的猜测结果，我们需要等到日月食真的发生时或者对比以前发生的日月食记载才能知道我们的猜测是否正确。下一步，我们要么在一个地点继续观测，看月亮是不是真的一直这么运动下去；要么对比C地得到的观测结果来给出在地心观测到的结果，看月亮的运动是否真如我们所预测的不再波动。两件事情无论如何都要做，不过既然我们已经掌握了两个地点这一个月的观测结果，那么我们不妨选择后者，把这一个月的情况更加详尽地研究完。

当我们对比C地观测结果，并且用之前已经讲过的方式得到相对于地心的月亮运动轨迹时，我们欣喜地发现，月亮在星图上的移动的确是平滑的弧线！但是有一点不符合我们预期的结果：月亮绕行一周后并不回到原点！

如图4-20所示，图中平滑的白道和我们之前画的大圆轨迹比较接近，我仍然用J1、J2标识白道和黄道的交点，虽然这两个交点的位置和之前的位置有点不大一样。我们发现月亮刚开始从J1点出发，沿着和黄道夹角为5°3′的方向运动，但是当月亮绕行一周和黄道再次相交时，这个交点已经不是J1点了，而是和J1相距将近1°26′的J1′点。它提前和黄道相交了!并且接下来月亮继续运动时，和黄道的夹角达到了5°10′，比原来的夹角增加了7′左右！而且我们发现这个夹角在整个周期中都存在着缓慢变化！

图4-20

这样的结果就告诉我们：虽然月亮的轨迹变得平滑，但它不像我们所预测的沿着一个固定轨迹一直运动下去，它的轨迹会缓慢变化。这个变化最直观地体现在月亮绕行一周后并不回到原点，更具体地体现在其轨迹和黄道的夹角会发生缓慢的变化，并且和黄道的交点会发生退行，即往月亮运动的相反方向移动。

除了月亮在星图上的移动，我们还考虑了月亮的距离变化。我们本以为从两个地点以拉基线的方式测量到的距离会比之前在一个地点根据视直径估计的距离误差小，但是实际上也同样存在将近1万千米的误差，所以在这点上我们得到的结果和之前没什么太大区别。

月亮在星图上轨迹的变化其实会让我们有一点点忧虑，因为在前面的整个猜测过程中，我们潜意识里都认为月亮会一直沿着一个轨迹周期性运动下去，但是实际情况并非如此。那这会不会导致我们之前对于一个周期以及以后的周期的推论出现问题呢？

首先，其实我们可以猜测，虽然我们发现月亮运行一周后黄道和白道的夹角增大了，但是我们相信它不会无限制地增加下去，它一定会遇到一个最大值然后又开始减少。为什么呢？我们在太阳的研究中就说过，月亮总是在黄道附近运动，但如果白道和黄道的夹角非常大，两个轨道肯定会非常偏离，这是和我们的观测相违背的。依据这样的假设，我们再回顾之前所有的猜测所建立在的假设，我们就可以明白，月亮的方位变化、月亮和太阳的升落时间关系、月相三者的研究都是不受影响的。另一方面，可能发生哪些类型的日月食、持续时间有多长、具体从哪个方向开始侵蚀，以及全球的情况等也不会受到影响。但是最后我们推测的一年日月食发生几次以及在什么时候发生，就有可能受到影响了。这是因为日月食只能发生在白道和黄道的交点附近，而现在这两个交点会在黄道上移动，那么日月食就并不一定都在每年的3月10日或9月10日附近发生了，而具体时间怎么变化还得看这个交点怎么移动；另外，黄白夹角的变化会使得食限，进而是食季发生变化，而我们不知道这个夹角会在多大范围内变化，会不会使得食季跨过29天……我们只有接着观测才能解决这些问题。

§4-7 长期的观测

我们接下来要花更长的时间分别在A、C两地单独测量，然后将数据结合起来考虑。

从一个地点的观测结果来看，月亮仍然是波浪式地沿着一条轨迹行进，但是我们的确可以察觉到月亮每一周的运动都会稍微错开出发点。之所以我们在第一个月的研究中没有发现这点，是因为我们先把月亮的波浪式运动轨迹画出来，然后再找一个最靠近这个轨迹的封闭大圆来表示，但实际上，如果我们不使用封闭的大圆，而是使用首末稍微错开一点的“大圆”来近似描述这个轨迹，会和这个轨迹总体更接近。

随着观测圈数的增加，我们发现月亮在这些近似的大圆上运动一周的时间基本上都是27天左右，月亮的视直径也几乎是以同样的27天一个周期循环变化。另外，白道和黄道的夹角的确如我们预测的会呈现周期性的变化，而不会一直增大，其交点也在不断退行。

当然，这些都是一个地点的观测结果，并且这些“大圆”都是近似描绘的，可能不同的人会画出不同的大圆。但是如果我们结合两个地点的观测结果，得到相对于地心的轨迹，我们就会得到唯一的轨迹。我们发现白道和黄道的夹角的确只能在一个区间内波动，且这个区间为4°57′～5°19′，平均值为5°9′，变化周期为173天。另外，交点的确在不断退行，而且不是一个交点在退行，而是两个交点都在退行，且退行方向、速度都基本相同，看起来就像它们的连线在旋转。我们根据退行的速度可以估算出要花18.6年，交点才会退行一周回到原来的位置。既然交点会在黄道上移动，那么我们就不得不用其他方法区分一下这两个交点了。我们可以叫J1为降交点，因为月亮经过J1的时候会从黄道的上方降到下方；同理，我们可以叫J2为升交点，因为月亮经过J2的时候会从黄道的下方升到上方。

除此之外，我们也研究了月亮和地球距离的变化。我们发现这个距离的确一直保持着周期性的变化，不过严格来说，它的变化周期并不等于月亮绕行一周的周期，具体周期是多少，我们之后会给出测量的结果。

§4-8 对日月食猜测的修改

针对这样的结果，我们要稍微修改一下之前的推测了。我们要修改的其实只有最后一项内容，即对一年发生几次日月食，在什么时候发生的推测。

在之前的推测中，我们要将原来的白道和黄道的夹角5°改为4°57′～5°19′，根据最大最小的夹角估计最大和最小的食季。由于这个角度的修改不大，我们发现最后得到的食季都和之前的差不多，起码都没有跨过29天。

更重要的是，因为两个交点会在黄道上移动，且平均一个月会移动1.6°（可根据18.6年交点退行一周计算），所以交点就可能存在于黄道上的任何一点，从而长期来看，日月食就可能发生于一年的任何时候了。不过既然我们掌握了这个移动的大致规律，我们也可以大概猜测什么时候会发生日月食了。比如，之前我们在6月份测量到交点处于3月10日和9月10日左右的两个位置，考虑后者，我们就知道太阳在6月份之后还要3个月才可以到达交点，而到那时候，交点就已经退后了大概3×1.6°=4.8°，也就意味着太阳会少花5天左右到达交点，这样日食或月食就会发生在9月10日前5天，即9月5日左右……当然，因为在几十天的食季内都可能发生日食或月食，5天的影响不大，但是如果我们考虑好几年交点的退行，日期变化的效应就很明显了。

除了这点，我们还要修改一下之前的一年最多发生4次日食、2次月食的猜测。因为可能有一种极端的情况是：在年初的时候，太阳经过第一个交点；在年中的时候，太阳经过第二个交点；但在年末的时候，如果第一个交点退行到元旦之前，那么太阳可能在新的一年来临之前又经过第一个交点再次发生日食或月食。现在的问题是，第三次经过交点的时候可能发生几次日食或月食呢？由于一年交点退行的角度约为20°，因此，太阳最多只有20天的时间赶在新年到来前发生日食，而这20天小于29天，所以太阳在跨年前在这个交点最多发生1次日食。同样的，在这20天内可能还会发生一次月食。所以总结起来就是：1年至少发生2次日食，最多发生5次日食；至少发生0次月食，最多发生3次月食。

在这里，我们得到的仅仅是每年发生日月食次数的可能区间，但是如果我们想准确预测，比如说今年太阳经过J1交点的时候到底会发生几次日食或月食，如果发生，发生的是偏食全食还是环食等，就需要我们非常准确地预测太阳和月亮的运行情况、月亮的视直径等。而这就意味着，越久远的日月食就越难预测，因为太阳和月亮本身的运行就不是匀速的，而且月亮的轨道一直在变化，所以对于很久以后究竟这两个轨道之间的关系会是怎样，月亮视直径有多大等的预测都会变得非常困难。不过在日月食之前很短的一段时间内，预测就变得较为容易了，因为在这短时间内，我们可以近似地将太阳、月亮的运动当作匀速，也更容易预测月亮视直径等，进而给出日月食的具体情况。

§4-9 对所有猜测的检验

我们已经得到了相当多的猜测，这些猜测仍然可以分为两类，一类是对月亮的方位变化、和太阳升落时间的关系、月相的猜测，另一类是对日月食的猜测。我们接下来要分别对这两类猜测进行检验。

对于第一类猜测的检验，其实我们之前已经检验过一个月的情况了，我们发现它和实际情况近似吻合。另外，我们还在长期的测量过程中顺便进行了长期的检验，我们发现检验结果也是符合猜测的。这样即使我们没有走遍全球，我们也相信对于全球的猜测也是成立的。当然，这里的猜测仅仅达到3°以内的精度，如果我们想要把精度提升到角分，我们还得利用实际月亮轨迹和地球的相对位置关系得到更加精确的推测，不过工作量太大了，我们不打算进行了。

对于日月食的猜测，通过检验，我们率先发现，关于月食的一些猜测是存在问题的。

首先，半影月食并不如我们想象得那么明显，实际上，我们是很难通过肉眼观测到半影月食。不过这不算我们的错误，我们之前仅仅说半影月食会使得月亮的亮度有所下降，但是下降多少我们并没有估计^[6]。现在我们知道了，它下降的程度是我们肉眼很难观测到的。

半影月食的问题倒不算大，更大的问题出在本影月全食（也就是我们平常说的月全食）上。我们发现，当月全食发生时，月亮逐渐被一个大圆盘侵蚀，被侵蚀的部分也的确完全变暗，但是当整个月亮都被圆盘侵蚀后，它反倒会逐渐呈现出一种较暗的红色！而且，通过对比不同时期发生的月全食，我们发现月亮呈现的颜色和亮度也会略有不同。

这就很奇怪了，月亮被地球的本影完全侵蚀后，理应完全变暗啊，怎么可能会呈现出暗红色呢？难道……月亮本身就会发光？可是如果是这样的话，为什么在不同时期发生的月全食的颜色会略有不同呢？难道月亮发出的光会变化？想了想，我们发现绝对不是这样的：在日全食的时候，当月亮完全遮住太阳后，我们并未发现被遮住的区域发出红光，这就说明月亮本身是不发光的！

既然这红光不是月亮本身发出的，那它到底来源于哪里呢？难道还是来自太阳光？可是太阳光明明被完全遮住了啊！

除非……太阳光会发生偏折！

这可能吗？我们回想一下生活中观察到的一些现象，发现这还真有可能。比如，当我们透过热水的水汽看一件物品时候，我们会发现这件物品的影像发生扭曲，这或许就是对光可能发生偏折的暗示。更有说服力的例子来自于海市蜃楼：当海市蜃楼发生时，我们能看到悬浮于空中的虚无建筑，并且我们发现这些建筑其实来源于遥远的地面，这就说明这些建筑反射的光受到了某种偏折进而进入到我们的眼睛中。所以说光的偏折不是不可能的。

另外，我们还发现了一件很巧的事情可以给前面的假设提供支持——月全食时，地球处于太阳和月亮之间，从而照射到月亮上的太阳光经过的地球大气层厚度是很厚的，而我们在太阳一章中就说到过，红光是最容易穿透大气层的，也就意味着经过厚厚的大气层后，留下来的红光是最多的。而我们观察到的月全食时的月亮正好就是红色的！并且，我们现在也可能解释红光的变化了：这个照亮的过程是和日地月三者的相对位置关系，以及大气层的状况有关系的，那么最终偏折到月亮上的光的颜色和亮度也自然会随着日地月三者位置关系的变化以及大气层的变化而有所变化，正如地球上的朝霞（或晚霞）并不永远保持同一种颜色。

现在，我们解释了红光的来源，也解释了红光的变化，但有个现象我们没有解释：为什么月亮未完全进入本影的时候，其被遮住的部分是全黑的而不呈现出暗红色呢？我们想到了这样一个解释方案：或许月亮在整个月食的过程中，其被遮住的部分已经呈现出暗红色，只是因为我们的眼睛受它那较亮部分的影响，所以无法看到。

但是好像也不对。因为当我们将亮的部分遮住，并让眼睛适应暗光环境后，我们仍然无法看到暗的部份呈现红色（或能看到，但较微弱）^[7]。因此，我们想更好的解释或许是这样的：当月亮只被遮住一部分的时候，我们看到的亮暗交界区域就是地球边缘（大气层）的影子。此时太阳光只经过这一小块地球边缘照射到月亮，从而红光并不多。但是当月亮完全进入地球的影子后，地球影子的所有边缘都离月亮比较近，从而太阳光就可以经过较多的地球边缘并在偏折后同时照射到月亮上，从而红光的强度更强。

当然，前面的很多猜测都只是停留在可能性的分析上，它让我们对红月亮的现象有个解释。我们理应根据这些猜测，给出更多的推论并进行更细致的检验。不过我们现在就不进行了，因为我们以后将在光学卷中专门研究这些问题。

对于一些定性的猜测，比如，在一个地区能看到日食、月食的时候，其他地区能不能看到等，我们发现都和实际的观测结果吻合。除此之外，我们还想检验一些定量的猜测，比如可以看到日全食的最大区域直径是不是在112千米左右、日全食时长是不是2小时左右，等等。总的来说，我们观测的结果都和预测的基本相同，不过不会完全准确（比如日全食最大直径可以达到200多千米，当然，我们解释过地球可以斜截本影区使区域变大）。

不完全准确是不是意味着模型有问题呢？其实也不能这么说。我们之前所有的预测要么是考虑平均的情形，要么是考虑最大最小的情形，而且我们的测量存在误差（比如太阳距离、大小的测量误差就比较大），所以实际观测结果和预测结果有偏差是很自然的，不应该归咎于模型。

不同于定性检验，定量检验有一个非常重要的意义是，由于所有的定量猜测来源于模型中的一些原始参数，包括太阳多大、月亮多大、日地和月地距离多少等，因此，通过研究定量观测结果和推测结果的偏差，就可以反推这些值。这里要理解的一点是，不论我们之前的观测和估算存在怎样的误差，重要的是我们已经构建起一个逻辑框架了，如果我们想更精确地确定框架中每个参数的精确数值，只要通过精确观测一些定量结果，就有可能把整个逻辑框架的具体参数调得非常好，使得推测结果和观测结果更加吻合。因此对于一个模型是否可以接受的判据是：如果不管我们怎么调整参数，都无法使推测结果和观测结果相符合，这个模型就很危险了。不过到目前为止，对于定性的观测结果，我们的模型给出非常漂亮的预测；而对于定量的观测结果，模型给出的预测的偏差也不大（并且对于偏差，我们也可以在模型框架内给出解释），所以这个模型目前的问题不大。当然，我们可以调整参数使得预测更加准确，只不过这个过程比较复杂，因为大多数观测结果都和模型中的很多参数有关系，所以如果你想根据观测结果反推这些参数，可能因为参数太多变得不好确定，而因此，我们是用精确测量去锁定参数，而不是用试错法调整参数，但从原则上来说，精确测量的过程也是在模型框架中确定参数的过程。随着以后我们的观测水平的提升，我们将有能力精确测定这些参数。

§4-10 周期的研究

§ 4-10-1 五个基本周期

在长期观测的过程中，我们还测量了几个我们比较感兴趣的周期。对于这些周期，其实我们发现它们的摆动幅度都是比较大的，有的甚至达到了一天，不过当我们进行长期测量并取平均值时，我们发现这些周期都基本稳定在平均值附近。

1. 恒星月：月亮在星图上运行一圈的周期。你可能会疑惑：既然月亮绕行一圈后不回到原来的位置，又何来周期呢？我们可以将月亮绕行到最接近其出发点的时候算作一圈，然后测量非常多圈取平均。随着测量圈数的增加，我们发现，虽然不同圈所花时间不一定相同，但是平均值却基本不变，而这个恒星月周期指的就是这个平均值。最终，我们得到这个周期为27.3217天。

2. 回归月：地月相对位置关系变化的周期。回归月、恒星月的关系和回归年、恒星年的关系一模一样，因此月亮方位变化的周期是回归月周期而不是恒星月周期。由于地球在27天内进动非常微小，因此，回归月必定和恒星月非常接近，并且考虑到地球进动方向和月亮运行方向相反，回归月应略小于恒星月。最终，我们测量到其平均值为27.3216天。

3. 朔望月：月相变化的周期。之所以说是朔望月，是因为我们经常把看不见月亮的那天叫作朔，把满月的那天叫作望。在这个周期的测量中，有一个小技巧：我们以朔为起点和终点进行时间测量，而并不以望为起点和终点进行时间测量。为什么呢？你仔细观察一下月圆的那一两天，你会发现你分辨不清楚到底什么时候月亮是最圆的，所以如果以此为节点测量时间，误差就比较大。不过你可能又会奇怪，在朔日，月亮都看不到了还怎么测量？其实在月亮消失之前和之后有两个方向不同的非常细的弯月，我们可以用它们作为指示：当我们观测到前一个弯月渐渐消失的时候，我们开始计时或停止计时。

不过话说回来，也不是说就不能用月圆为节点测量。首先，在非常长时间的测量中，月圆那几天的误差会随着测量圈数的增加而减小；其次，虽然我们不好判断什么时候是真正的月圆之时，但是我们可以肯定的是，发生月食的时候一定是真正的月圆之时。这样，我们只要根据月食记录算出某两次月食的时间间隔，然后再根据粗略的29天多的朔望月周期判断在这两次月食之间经历了多少个周期，将时间除以这个周期数就是我们想要的周期了。我们可以看到，用月食来测量更巧妙。最终，我们得到朔望月周期的平均值为29.5306天。

4. 交点月：月亮从一个黄白交点出发到又回到这个黄白交点的周期，具体来说就是月亮从降交点J1（或升交点J2）绕行一周后回到的新的降交点J1′（或新的升交点J2′）的时间。由于新的交点相比出发的交点退行了，所以我们可以预测这个周期小于恒星月周期27.3217天。果然，在长期的测量中，我们发现其平均值不管是对于两个交点中的哪一个，都基本保持稳定在27.2122天。

5.近点月：月亮连续两次到达近地点的周期。在测量的时候，我们可以对两次月亮视直径达到最大时开始和结束计时。同样的，每次测量的结果都有所不同，但是在长期的测量过程中，其平均值稳定在27.5546天。这个值不同于恒星月的27.3217天，那就说明月亮和地球的距离变化并不是每绕一周正好变化一次，它变化一次的时间稍长了点。

你现在可能会疑惑：这些周期是相对于地心还是相对于地球表面的某个地点而言的呢？实际上，这是没有区别的。无论在地球表面哪个地点测量这些周期，只要测量的次数足够多，测量的时间足够长，这些周期都会各自稳定于一个值，且这个值都会和在地心测量的结果相同。为什么呢？你可以想象这样一个例子：假如有两个人处于地球上的不同点，他们都在观察到最大月亮的时候开始计时，然后过了将近1000个周期后又看到月亮变为最大时停止计时，那么即使他们测量的时间有一点不同，被均分1000份后，差距就会变得非常小了。

§ 4-10-2 超级月亮周期

运用这些周期，我们可以来研究一些比较感兴趣的问题。

在对月亮的观测中，月亮最明显的性质是它的月相以及大小，那么月相和它的大小之间有什么关系呢？朔望月周期29.5306天和近点月周期27.5546天的不同就告诉我们：月相和月亮的大小不是同步变化的，即可能这个月满月的时候月亮很大，但是下个月满月的时候就没那么大了。所以我们现在不妨来考虑这样一个问题：假如有一天满月的时候月亮视直径达到最大，那么接下来的几个月里的满月的视直径是怎么变化的呢？又要过多长时间才能重现一次这样的“超级月亮”呢？

我们可以来分析一下：从这次满月开始计时，要过29.5306天才能再次满月，而实际上在第27.5546天的时候月亮就达到最大了，也就是说在下次满月前29.5306-27.5546=1.976天月亮就已经达到最大了，而这1.976天就会导致月亮的视直径略微下降，所以在下次满月时月亮看过去会略小一些。同理第3个月满月的时候，这天的2×1.976=3.952天前月亮是最大的，离满月之日更远，从而满月时视直径更小了。一直到了第7个月满月的时候，这天的7×1.976=13.832天前月亮是最大的，而这个天数正好最接近于27.5546天的一半，这就意味着，这个月满月时月亮视直径达到了最小。而后的月份里满月视直径渐渐增大，直到第15个月的时候，这个月满月前15×1.976=29.64天月亮达到最大，这段时间很接近29.5306天，也就是说，实际上在第14个月的时候，满月时月亮已经达到最大了。所以我们就可以知道满月的月亮视直径每14个朔望月变化一个周期，或者说“超级月亮”每14个朔望月会出现一次。

§ 4-10-3 其他周期

朔望月和近点月结合可以推导出超级月亮的周期，那朔望月和其他周期结合会得到哪些周期呢？近点月和其他周期结合呢？其他周期间的结合呢？

我在这里只考虑朔望月和其他周期的结合，剩下的留给你自己思考。

朔望月和恒星月：假如这天满月的月亮在某颗恒星的附近，那要等多长时间满月的月亮才能再度回到这颗恒星呢？

朔望月和回归月：假如这天满月的月亮从最偏北（最偏南）的位置升起，那要等多长时间满月的月亮才能再度从最偏北（最偏南）的位置升起呢？

朔望月和交点月：假如这天满月的月亮处于黄白升交点（降交点），那要等多长时间满月的月亮才能再度处于升交点（降交点）呢？

当然了，我这里给出的只是其中一种表达方式，你也可以用弦月、新月（看不见的月亮）等来表达。那这三个周期的具体数值是多少呢？我们可以用基础周期计算它们的周期，而更巧妙的方式是直接用太阳在星图上的运动估计，由此得出这三个周期都是1年左右。

§ 4-10-4 沙罗周期

前面是两个周期的结合，如果我们将三个周期结合，还可以给出更多有意思的推论。比如结合朔望月、近点月、交点月，我们会得到什么周期呢？首先，朔望月和近点月给出的是超级月亮的周期，而交点月意味着月亮在黄白交点。然后你想，月亮在黄白交点的同时还是满月，也就意味着太阳在另外一个交点，这不就形成月食了吗？如此一来，我们就知道这三个周期结合起来会得到什么周期了：假如有一天在超级月亮的夜晚发生了月食，那么下次发生超级月亮加月食要到什么时候呢？

这其实是挺难的数学问题，如果我们不去找更简单的解决方案，可以用这样一个原则上行得通的方式：我们计算三个周期的1、2、3、4、5……倍并分列为三行，然后看三行数字之间有没有非常接近的。利用这种方式，我们发现了这样的数字关系：223个朔望月的时间为223×29.5306=6585.3238，242个交点月的时间为242×27.2122=6585.3524，239个近点月的时间为239×27.5546=6585.5494，三者十分接近。6585天相当于公历的18年零11天（如果有5个闰年就是18年零10天），所以我们就知道了将近18年又11天后超级月亮加日食的现象会重现。

现在，非常有意思的是，古人所发现的一个叫作沙罗周期的周期也和这个周期很接近。什么是沙罗周期呢？沙罗周期为6586.3天^[8]，它可以用来预测日月食。在一个沙罗周期内，地球上会顺次发生43次日食和28次月食，并且我们可以运用沙罗周期这样预测日食：假如在某个地点发生了一次日食，那么可以预测在6586.3天后也将发生一次日食，但是这个日食不是发生在这个地点了，而是发生在这个地点往西三分之一个地球球面的位置。由此进一步推测，经历了3个这样的周期后，日食会再度在原来的地点上演。月食的预测同理，不过因为月食有且只有一个半球可以看到，所以得看地球转动三分之一圈后观测点是否转到白天的半球。

沙罗周期的发现是经验性的，即古人一直记录发生日月食的时间从而发现这个规律。不过，我们可以大致想想为什么沙罗周期有这样的性质，它和超级月亮加月食的周期又有什么关系。

我们先考虑这个问题：沙罗周期和日月地三者相对位置变化有什么关系呢？我们可以这样分析：假如有一天，日、地、月按顺序处于一条直线上，并且此时月亮和地球间的距离最近，那么经过多长时间后，日、地、月又会回到这样的一个相对位置状态呢？这段时间就是超级月亮加月食的周期，也就是沙罗周期。由此我们猜测，在这样一个周期内，日月地之间的相对位置关系变化了一个周期，而当它们又回到初始状态后又会同样地经历与之前完全相同的变化过程，回到初始点后又经历一次……由于日月食是由日月地之间的相对位置关系确定的，因此，日月食肯定是以沙罗周期为周期规律地出现了！

我们不单单可以选取之前的超级月亮加月食为节点作为沙罗周期的起点和终点，我们其实猜测，当日、地、月处于任何一种相对位置状态的时候，经过一个沙罗周期后，它们又会回到这个状态。应用于对于日食的预测，我们可以猜测当某一个时刻太阳、地球、月亮处于一条直线上并发生日食的时候，过了一个沙罗周期，它们又会处于一条直线上，就又会发生一次日食。而由于沙罗周期存在0.3天的尾数，所以虽然日月地又回到一条直线了，但是地球已经转过了三分之一的球面了，所以日食发生的位置已经不一样了。

前面的推论好像听起来都没问题，但是你可能会觉得疑惑：当日月地又回到一条直线后，那条直线还是原来的那条直线吗？其实不管那条直线是不是原来的那条直线，都不影响我们之前的推理过程。为了帮助我们更好地理解，我们可以想一个具体的例子：假如有一天某个地方到正午的时候发生了日食，那么这个时候这个地点所处的地球位置是正对着太阳的，且这个地点和太阳之间正好有个月亮挡住视线。过了1天，这个地点仍然是中午，又正朝着太阳，但是它们之间没有月亮。过了2天仍然如此，过了3天也仍然如此，直到过了6585天，这个地点又是正午，正对太阳，但月亮还没完全运动到日地之间。又过了0.3天后，地球转过了1/3，这时候月亮跑到地球和太阳的正中间了，但是这个时候正对太阳的地方已经不再是这个地点了，而是其向西1/3地球球面位置的另一个地方。

其他情况的日月食也都可以类似地考虑。

沙罗周期很好用，但是应注意，这样的周期变化仅仅是大致的，你可以看到前面的6585.3238、6585.3524、6585.5494三个时间虽然接近，但不相等。所以虽然我们在一个日月食往前或往后推几个周期进行预测比较准，但是跨过太多个周期后，误差一累积就变得不准了。

§4-11 应用

§ 4-11-1 阴历的制定

对于基本规律的研究已经差不多告一段落了，接下来，我们要对这些规律进行一些应用。首先，一个非常重要的应用就是阴历的制定。

假如我们可以制定这样一个叫作阴历的历法，就像阳历中每个月份对应于一个特定气候一样，它的每个日子都对应于一个特定的月相，那么，我们每天一抬头就可以知道今天大致是几号了。现代人可能感受不到这样做有什么好处，因为如果我们想知道今天是几号，看看手机或翻翻日历就知道了。但是在古代，人们的通信不便利，统一分发日历既困难又浪费，每天携带日历也显得麻烦，所以以月相的变化作为一个天上大家都看得见的日历就非常方便了。你可以想象两个古人约定在月圆之夜见面，他们都骑着马赶路去相见，而在路上要想把握距离相见之日还有多久，只要抬头看看月亮就好了。

接下来，我们就来尝试制定这样一个可以指示月相变化的阴历。

首先，月相变化的周期是29.5306天，不是整数，但是我们希望每个月的天数是整数，那也就意味着我们的策略是有时候让一个月是29天，有时候让一个月是30天，并且在长期的过程中让每个月的平均长度为29.5306天。

我们可以先尝试这样做：如果我们定前2个月为29天，我们会少算2×0.5306=1.0612天，那我们就在第二个月补上1天。这样两个月中第一个月29天，第二个月30天，而这两个月还少算了1.0612-1=0.0612天。如果我们一直以这样的两个月为单位进行下去，由于每两个月少算0.0612天，因此，经过100个这样的两个月后，即200个月后，我们会少算6.12天，我们就得在这200个月中选出6个月加上6天。这6个月的选择其实比较任意，出于方便我们可以考虑整十的月份，或者考虑均等分割，比如我们可以选第30月、第60月、第90月、第120月、第150月、第180月。由于这些月份本来都是30天，因此，再加一天就是31天。

如果一直以这样的200个月为单位继续进行下去，由于每200个月还会少算6.12-6=0.12天，那也就意味着过了10个200个月，即2000个月后会少算1.2天，那我们可以在第2000个月多给1天。按照这样的2000个月循环下去，由于每2000个月还会少算0.2天，也就意味着再过10个这样的2000个月，即20 000个月（相当于公历的1617年）会少算2天，我们可以在第10 000个月和第20 000个月多给1天。

到这里，你会惊奇地看到，已经没有多算或少算了，好像我们的历法已经制定结束了！其实不是这样的，要知道我们对于朔望月的测量其实只精确到小数点后4位，后面还有无数个小数，所以历法的制定永远不会停止！何况我们甚至不确定那么久以后朔望月周期是否仍然维持在29.5306天！

阴历每个月长度都定了以后，我们只要规定一月一日和某一个月相对应，接下来所有的日子和月相的对应关系就都确定了。当然，这个月相的选择其实比较任意，不过考虑到新月比满月更容易确定，我们可以定一月一日为看不到月亮的那天，这样，我们就大致知道每个月的一日看不到月亮，七日和二十一日是弦月，十五日是满月……

同样可以看到，我们在制定的阴历中有很多的任意项，比如我们不一定要选择大小月交替，我们可以选择两个大月和两个小月交替；我们在200个月中也可以选不同的月份加上6天，等等。这个阴历是我自己建立的，而阴历有很多种，只要它每个月内的日子能反映月相变化就可以了。

另外，你可能注意到，这里的阴历只是一系列的月份，而没有年的概念。其实我们也可以人为制定年。你肯定会想让每年的时间正好为回归年的时间，这样我们的历法既能指示月相又能指示气候了，但是很不巧的是，如果我们定12个月为一年，那这一年有354天（如果包含30、60、90……这些月份，就会有一两天差别），如果我们定13个月为一年，那一年就有383天或384天（同样考虑之前那些月份会有一两天差别），正好把回归年365.2422天夹在中间了。那有人可能就会说了，我有时候让一年为12个月，有时候让一年为13个月，而保证在长期的过程中每年平均为365.2422天不就好了！这是个好主意，我们不妨试试看能不能制定这样一个“阴阳历”。

§ 4-11-2 阴阳历的制定

我们可以先考虑阴历中的前1000个月。从1～1000个月中，一月为小月29天，二月为大月30天，三月为小月29天，四月为大月30天……这样大小月交替，而每200个月中的第30、60、90、120、150、180月为31天。我们就先考虑5个这样的200个月，看能不能适当地将其分割为年并最终使得平均每年的时间长度为356.2422天。

由于我们制定的阴历以200个月为周期循环，因此，我们肯定也想让每200个月中对于年的分法都是一样的，即每200个月分割为某一整数年。我们来试试有没有可能：由于200个月中有100×29+100×30＋6=5906天，而回归年周期为365.2422，因此，5906/365.2422=16年余62.1248天，那也就意味着如果我们把这200个月分割为整16年，会导致最终和回归年周期偏离了62天多，相当于公历的2个月了。这个就不大好了，因为如果说这个余数只有一两天，我们就可以让每200个月都按完全一样的方法分割，然后等到分割了非常多个16年后，我们再考虑累计起来的误差并置闰年。但是在这200个月就产生62天的大误差的情况下，我们或许很难找到一个分割年的周期性规律了。

不过，我们还是硬着头皮尝试一下好了。

如果我们将第1到第12月划分为第1年，那这1年一共是354天，和实际的1年差了365.2422-354=11.2422天。我们先不管这个差值，继续划分第2年。

将第13月到第24月这12个月划分为第2年，那这年还是354天，又差了11.2422天。2年累计误差为11.2422+11.2422=22.4844天，和1个朔望月还有点差距，我们仍然先不管。

接下来将第25月到第36月这12个月划分为第3年，由于其中包含的第30月多了1天，因此，这年多1天，为355天，这样和实际1年差了10.2422天。这3年就总共差了22.4844+10.2422=32.7266天，这个天数和1个朔望月的天数差不多了，我们就可以将第3年从12个月改为13个月，即将第25月到第37月这13个月划分为第3年。由于第37月为29天，因此，这3年就和实际的3年时间差了32.7266-29=3.7266天。

总结一下这3年，第1年12个月，一共有354天，第2年12个月，一共有354天，第3年13个月，一共有384（355+29=384）天。这3年还少算了3.7266天。

第4年从第38个月开始，借鉴前3年的经验，将第38月到第49月这12个月划分为第4年，一共354天。将第50月到第61月这12个月划分为第5年，由于第60个月多1天，因此，第5年一共355天。接下来，我们直接将第62月到第74月这13个月划分为第6年，这年384天（因为13个月中首尾都是大月）。这样，这3年的天数比之前3年多了1天，按理就少算2.7266天。

我们继续将第75到第111月这12+12+13=37个月分给第7、8、9年，由于第8年中的第90月多了1天，而第9年只有383天（因为13个月中首尾都是小月），那这3年就是354+355+383天，和回归年的3年差了3.7266天。

按这样每3年为单位一直排下去，我们还要看每3年的累计误差是怎样的，然后才能确定什么时候累计误差到达将近1个月，就要再多加上1个月了。不过，每年的误差规律不是那么好找的，3年有37个月，这37个月中可能不存在31天的月份（180～230差了50个月，超过了37个月的跨度），也可能存在1个，也可能存在2个。另外，在最后1年的13个月中，有时候是小月多，这样只有383天，有时候又是大月多，这样就是384天……所以在这些波动因素下要找周期就比较麻烦了。

可以看到，虽然我们有能力一步步推导哪些年是12个月哪些年是13个月，但是很难找到明显的规律，也就意味着，如果我们想知道第100年有几个月，我们就得从第1年开始一步步推导到第100年！这是我们不得不面对的困境，因为自然界没理由让回归年的周期和朔望月的周期有任何关系啊！

§ 4-11-3 农历的制定

在前面我只是尝试着建立一种阴历以及一种阴阳历。所谓阴历，指的是以月相变化为周期建立的历法，但是具体建立的方式有很多种。而阴阳历又建立在阴历的基础上划分年，使得平均一年的长度是回归年长度从而可以指示气候，建立的方式也有很多种。那有个问题是：在那么多种制定方法中，有没有优劣之分呢？我们可以想到的有两个标准：一个是和自然界结合的紧密程度，比如我们拿两个历法对比一下，看十五的月亮谁更圆，或者谁每年一月气候随年数波动最小，等等；还有一个标准就是好不好记。如果你的历法异常复杂，以至于我都无法推测多少天后是几月几号的话，那使用起来就有点麻烦了。我们前面在制定阴历和阴阳历的过程中可以说是兼顾了两者（虽然不一定足够好），而现在不得不提的中国农历，在和自然界结合方面做到了顶峰，但是由于自然界本身的复杂性，因此农历非常复杂。由于农历在中国文化中占据的重要地位，并且它的制定规则非常简洁漂亮，因此，我有必要说说农历是怎么制定的。

农历是一个阴阳历，我们首先说说农历的阴历部分，即一个月设定几天的问题。我们之前规定大小月交替，而农历不一样，它是边观察边确定大小月，当它确定这天是朔日（即看不到月亮的那天）的时候，就意味着一个月的结束，另一个月的开始。什么意思呢？我们可以通过观测确定出哪一天是朔日，并定这一天定为一日，而后每一天是几日就完全确定了。直到我们又观察到朔日了，我们就说这个月结束了，是多少天就多少天，而刚被观察到的朔日就被认为是新的一个月的开始。

在这样的制定方法下，我们根本就不用管一个月平均长度是不是29.5306天了，我就问，每个月的日子能不能表征月相？当然能啦！因为它是根据月相实时调整的啊！也因此，相比于之前制定的阴历，它肯定和实际的月相结合得更加紧密。但是也有一点不好的是，由于月亮和太阳的运动都不是绝对匀速，因此，每两次朔之间的时间长度其实是在29.5306天上下比较不显规律地摆动^[9]，而这样的后果就是大小月的出现有些不规律了，比如有的时候可能连续出现好几个小月，有的时候连续出现好几个大月，有的时候也间隔分布，也就导致我们很难预测某个月究竟会有多少天。

现在根据月相的观测，我们就得到了一系列的月份，第一个月多少天，第二个月多少天，第三个月多少天……全都可以根据月相实时确定了。接下来，我们要将这一系列的月份分割为年，使其可以表征气候的变化。

农历采取的策略是：将表征气候的节气固定在特定日子内。什么意思呢？我们之前根据太阳的运动划分出了二十四个节气，这二十四个节气是可以表征气候变化的，公历最能体现气候变化的一点就是，每个节气都和公历的特定日子相对应，前后最多差三四天。而我们要想让农历可以表征气候的变化，就也可以想办法让二十四节气固定在某些日子里。

表3-1（副本）

但具体该怎么做呢？我们来分析一下。公历一年有24个节气，而不管我们怎么制定农历，一年肯定是12～13个月，将近是节气数的一半。这就给了我们启发，我们能不能想办法让24个节气中的一半待在农历的特定月份中呢？如此一来，农历的每个月就都和特定的节气对应，同时也就和特定的气候对应了！

接下来，我们就来尝试一下。

首先一个问题是，我们该选择24个节气中的哪12个节气和月份对应呢？可以肯定的是，我们要让这12个节气均匀分布，即每两个选中的节气之间有一个未被选中的节气。为了描述方便，我们不妨将24个节气分成节令和中气这两类：我们叫第一个节气（立春）为节令，叫第二个节气（雨水）为中气，叫第三个节气（惊蛰）为节令，再第四个节气（春分）为中气……这样节令有12个，中气也有12个，节令和中气交替排列。我们可以让节令或中气和固定月份对应，考虑到春分、夏至、秋分、冬至4个节气的重要性，并且它们是中气，我们可以选取中气。

由一年365.2422天可以计算出，平均两个中气间的时间间隔为365.2422/12=30.43685天。而农历中平均一个月是29.5306天，跨度小于中气的时间间隔。那就意味着，1个月要么只有1个中气^[10]，要么没有中气。如果我们设定某一年为12个月，那就有两种情况：

第一种情况，12个月中每个月都有一个中气。比如，雨水落在1月15日，春分落在2月16日，谷雨落在3月17日，小满落在4月18日，夏至落在5月19日，大暑落在6月20日，处暑落在7月21日，秋分落在8月22日，霜降落在9月23日，小雪落在10月24日，冬至落在11月25日，大寒落在12月26日。要说明的是，大多数情况下中气的日子不会这么规则地按15、16、17……递增，但是总体来说，由于中气跨度大于1个月的长度，因此，中气落在每月的日子会往后推迟。

第二种情况，12个月中某个月是没有中气的。比如，雨水落在1月28日，春分落在2月29日，谷雨落在3月30日，这时候，由于下一个要出现的小满和谷雨的跨度超过30天，大于4月的29或30天的长度，那小满就会跳过4月直接到5月初。但问题是，我们想让小满待在4月而不是5月啊！怎么办呢？解决方案来了，我们让这年是13个月，而把这第13个月活生生插入3月和4月中间，并且叫它闰三月。如此一来，小满就会跳过闰三月到达4月初，而这正是我们想让小满落在的月份！往后的月份中，所有的中气也都各得其所了。这是就一年的情形而言，到了第二年我们仍然可以进行相同的步骤。这样，各个中气就处于每年的特定月份了（闰月无中气）。

现在，我们只要选定第一年的雨水是几日，以后每个月是几天，什么时候开始，什么时候结束就完全由月相决定了；而接下来哪些年定为12个月、哪些年定为13个月就全都由太阳在黄道上的位置确定了。如此一来，农历就完全确定下来了。

§ 4-11-4 农历的一些名称和节日

农历中对于年月日的叫法都和公历有所不同，最为传统的叫法是使用天干地支，不过在现代生活中用得非常少了，所以我也不打算说了。我就说说现代人对于农历的年月日的通俗叫法。

首先说年。我们现在表达农历的哪一年，经常用那年的公历年份来替代。这样的叫法之所以行得通，是因为农历也考虑到了太阳的运动，所以其在年份上和公历基本保持同步。不过有时候会引起混淆的是，因为公历更快地跨过了一年，所以在元旦和除夕之间的日子，农历会比公历少一年。^[11]

接下来说说月份的叫法。首先，农历中的一月一般不叫一月，而叫正月。而对于十一月和十二月，虽然我们现在其实也经常直接叫其为十一月十二月，但它们其实也叫冬月和腊月。另外还有闰月的名称，闰月在哪个月后面就叫闰几月，比如闰正月，闰二月，闰三月……闰十二月。闰月是插入12个月中的，而不是替代12个月中的任何一个月，所以一年要么就是那特定的12个月，要么就是12个月加1个闰月。

当然还要考虑日子的叫法。公历中每个月的日子都直接叫1日、2日、3日……31日，或者把日改为号。而农历就有点不一样了，农历中每个月前10天分别叫初一、初二、初三……初十，然后是十一、十二、十三……十九、二十，再往后叫廿^[12]一、廿二……廿九、三十。

你也可以看到，前面的月份和日子都是用汉语数字书写的，这是因为农历是中国传统历法，我们早就习惯用汉语的数字了。

我们中国的很多传统节日都是按照农历编排的，因为中国在历史上基本上都是使用农历，公历是近现代才引入的。比如除夕（一年的最后一天）、春节（正月初一）、元宵节（正月十五）、端午节（五月初五）、七夕节（七月初七）、中秋节（八月十五）、重阳节（九月初九）、腊八节（腊月初八） 。

你可能觉得奇怪：除夕的括弧中写的是一年的最后一天，多啰唆啊，干吗不写我们经常说的大年三十？

这是因为一年的最后一个月并不一定有30天的，也可能只有29天。“大年三十”这个说法之所以广为流传，是因为我们发现腊月有30天的年份占多数，但并不是说所有年份的腊月都有30天，你会发现有些年的除夕是廿九。还有，什么是“大年”？我们听说过大年三十，也听说过大年初一、大年初二、大年初三……大年十五，所以大年估计指的就是一年的最后一天到第二年的正月十五吧？

另外，你还会说我忽略了一个中国传统节日——清明节。清明节指的就是二十四节气中的清明那天，二十四节气在公历中的日子比较固定，而在农历中不是很固定，所以清明节在农历中的日子是会变化的，我就没列在上面。

§ 4-11-5 农历和公历的对比

目前，我们中国是农历和公历一同实施的，所以我们非常想拿这两个历法来对比一下。我们不妨先做这样一个有意思的思想实验：假如把你扔到一个荒岛上，让你选择要一个历法记日的话，你会选择公历还是农历？

你可能会说你选择公历，你每天在一个树木上画一道痕表示又过了一天，以此一天天记日。但是没过多久你肯定会和月亮妥协，因为没有了和其他人的方便沟通，你画一道痕只不过是一道痕，一个日子只不过是一个日子，它渐渐对你来说不代表什么了。这时候，你发现天空中有个月亮每天都在变化月相，你可以以月相记日，那么每个日子都有了一个明确的参照和意义。另外，你还可以通过气候以及日中太阳高度（或日影长度）大致判定现在是几月。在荒岛上，我们很容易通过自然界的参照获得农历的日子，这对于通信和记日不发达的古代其实是一个道理。

再回到通信极为发达的现代社会，每个人都可以很方便地通过网络获得今天的日子，我们对于日子就很容易有参照的概念。所以在这种情况下，我们更追求让历法很规律，而我们现在使用的公历，除了平闰年的二月存在28和29天的区别，每年有多少月都是完全确定的，用起来非常方便。并且公历作为阳历，相对于农历这个阴阳历来说，和气候的结合程度是更为紧密的，所以公历就更有利于对农业的指导。

§ 4-11-6 潮汐现象

我说公历更有利于对农业的指导，但是如果这里的农业包括渔业，这话就有失偏颇了。

如果你在海边待过好几天就会知道，海洋是存在潮汐现象的。所谓潮汐现象，简单来讲就是涨潮和落潮两个过程，前者是潮水汹涌地涌上岸，同时如果你在海上竖起一根木杆，你会发现海平面高度明显上升了；后者是潮水往后退，同时海平面下降。为了给潮汐现象一个度量标准，我们不妨就以海平面的高度作为潮汐的状态标志。

通过观察我们发现，一个月中海平面的高度变化会和月亮的位置有关：可以看到月亮的半天里，月亮高度越高，海平面高度越高；而在看不到月亮的半天里，月亮在另一个半球的高度越高，海平面高度越高。所以可以想象，月亮从我们这个半球升起又落下的过程中，海平面高度渐渐升高然后减低；在另外一个半球升起又落下的过程中，我们这边的海平面高度也是渐渐升高然后减低。除此之外还有一个规律是：新月和满月那天，海平面的涨落幅度是最大的；而越接近弦月的日子里，海平面的涨落幅度越小。

月亮高度、月相和海水的涨落有联系，而月亮的高度本身和月相也有联系，而农历是根据月相制定的，那么农历和海水的涨落自然也有联系了。根据前面的观察，我们可以推测，在农历初一，由于太阳和月亮同升同落，所以中午和午夜海平面高度最高，早晨和傍晚海平面高度最低。日子往后推移，月亮相比太阳越来越晚升起，也就意味着每天涨潮和落潮的时间越来越推迟，直到初七、初八弦月的时候，月亮正午升起，傍晚升到最高，午夜落下，所以傍晚和早晨（此时月亮在另外一个半球升到最高）海平面高度最高，而午夜和中午海平面高度最低。继续到十五、十六满月的时候，又变成午夜和中午海平面高度最高，早晨和傍晚海平面高度最低。到了廿一、廿二弦月的时候，又变成早晨和傍晚海平面高度最高，而中午和午夜海平面高度最低……海平面的涨落幅度也和日子或者月相有关，初一新月、十五满月的时候，海平面涨落程度最大，而初七和廿一弦月的时候，海平面涨落幅度就最小，中间都是过渡期。

当发现这些规律的时候，我们要么接受并使用这些规律而不问为什么，要么去想能否有更简单直观的规律来解释这些规律。不过无论如何，出于好奇，我们都会问：为什么潮汐现象会和月亮的位置有关呢？我们可能会想到一些模型或理论来解释：

首先，月亮升得越高、海水涨得越高，这个非常像月亮在拉着海水涨高，拉的方向越趋于垂直海面自然被拉得越高。但这里有一个问题是：如果按照这样的假设，那么当月亮渐渐运动到地球的另一边的时候，它对于海面的拉力应该变成反方向，那么海面的高度不是要渐渐下降吗？

为了解决这个矛盾，我们不妨再加入这样一个假设：当月亮运动到地球的另一面的时候不再吸引海面，而是吸引地球。在这样的假设下，地球在月亮的吸引下会远离海面，月亮升得越高，地球拉离海面的程度就越大，从而海平面就显得越高了。

同样的，为了解释在不同月相下海水涨落的幅度不同，我们也可以对太阳加入完全一样的假设，但是为了让月亮的吸引力占主导地位，我们要假设太阳对于地球和海水施加的力小于月亮施加的力。在新月的时候，月亮和太阳一起吸引海水或地球，劲往一处使就会产生最大的效益，从而海水的涨落幅度大。在满月的时候，月亮和太阳分别在两边吸引海水和地球，就将海水和地球最大限度地拉开，从而海水的涨落幅度也很大。在弦月这天，当月亮在中天位置吸引海水的时候，太阳在海平线上并不产生垂直的力，而除了这天之外，太阳要么帮助月亮一起吸引海水，要么跑到另一边去吸引地球，所以说弦月的时候海水的涨落幅度最小。

这样的假设可以非常好地解释现象，但是又显得太刻意了——吸引就吸引呗，还一会儿吸引这里一会儿吸引那里的。其实，我们可以再修改一下假设：月亮或太阳对于地球和海面都是有吸引力的，只不过离得近的吸引力更大。然后，我们再重复之前的推理过程。

这是我自己想的一个解释方案，它可以帮助我们理解并直观把握潮汐规律，至于到底这样的解释中有没有矛盾，还需要我们根据这个解释找出一些推论，然后通过实验来检验。检验能通过最好，不通过就再修改假设使得推论和实验吻合。更加具体的内容我们会在有关力学的一卷中更深入地研究。

关于月亮的应用先讲到这，不过你可能还会想到一个潜在的应用：之前我们能用太阳和手表确定方向，那我们能不能用月亮和手表确定方向呢？可以想象，这是完全可以的，因为我们已经可以预测任何时候月亮的方位了。至于具体怎么操作，就留给你自己思考吧。

§4-12 模型任意项

和之前一样，在掌握了这些规律后，我们仍然要意识到，规律本身问题不大，但是给出这些规律的模型却并不唯一。因此，我们要通过思考模型任意项，来看看有没有不同的模型。

模型任意项1：相对性问题

我们仍然先考虑相对性的问题。

在前面的探索中，我们默认地球静止，天球以地球为球心，而月亮和太阳在天球上的轨道运行。由于两个轨道都是围住地球的，我们自然默认这是太阳、月亮都绕着地球转的模型，而且还可以额外确定的是，由于月亮可以遮住太阳形成日食，所以月亮绕行的轨道会更小。那接下来的问题是：在保证模型仍然可以给出一样的观测结果的前提下，将参考系放到不同的对象下，会产生哪些不同的模型呢？

如果我们把参考系从地球移到太阳（即让太阳静止），就会出现这样的模型：地球绕着太阳转，同时月亮在绕着地球转。对于恒星有两种可能性：一种是跟着地球一起绕太阳转，一种是远到日地间距离在它眼里就像一个点。

如果我们把参考系移到月亮，就会出现这样的模型：地球绕着月亮转，同时太阳在绕着地球转。对于恒星也有两种可能：一种是跟着地球一起绕月亮转，一种是远到月地间距离在它眼里就像一个点。

我们从地球静止、太阳静止、月亮静止出发，分别得到了三个模型了（而且三个模型中也存在不确定的地方），它们三个对于推测可观测现象而言都是等价的。在这三个模型中，只有一个模型有唯一的旋转中心，即地球静止的模型，所以我们还是比较青睐这个模型。

但有人可能会质疑道：“我们现在已经得知太阳直径是地球直径的100倍左右，那如果按地球静止的模型，太阳那么大个的球要绕着地球那么小个的球转动，好像心理上不好接受啊！”

而又有人可能反驳道：“你这意思是要地球绕着太阳转喽？要是这样的话，要么恒星得跟着地球一起绕太阳转，要么恒星得远到日地距离都是一个点，而在已经意识到日地距离有大的情况下，这两种可能在心理上都很难接受啊！”

从这里也可以看出，不同人对于模型在心理上的可接受程度有不同的看法，所以我们还是按一个比较客观的标准选择模型：对于正在研究的问题，选择哪个模型研究更简单就用哪个，不必考虑心理上能否接受的问题。实际上，我在第一章结尾的时候就暗示过：这个世界的规律不是以你在心理上能否接受为标准设计的。

模型任意项2：月亮的具体轨道

月亮绕地球转，而对于月亮具体的轨道是怎样的，由于存在1万多千米的距离测量误差，我们还无法精确确定。不过，我们可以大致估计一下。

我们之前在测量月亮视直径的时候，发现：在不考虑波动的情况下，月亮从H1附近运动到H3附近的过程中视直径在下降，从H3附近运动到H1附近的过程中视直径在上升，并几乎回到原来的视直径。视直径的变化可以反映出距离的变化，由此我们再联想到研究太阳轨迹时的偏心圆猜想，就会画出类似于图4-21的图来。

如图4-21所示，我们猜测月亮在图中的圆上做着匀速运动，而地球处于偏离圆心的位置。偏离多少呢？我们来算一下：根据之前的大致测量，月亮离地球的最远距离为41.1万千米，最近为距离37.2万千米，那轨道的直径就是41.1+37.2=78.3万千米，从而半径就是39.15万千米。地球偏离圆心的距离是半径减去最近距离，即39.15-37.2=1.95千米。将这个值除以半径39.15就得到0.0498，从而偏离的程度就是0.0498R。

图4-21

接下来我们要检验这个模型，我们根据模型预测将会在何时在星图上的哪个点看到月亮，然后对比实际情况。我们发现预测和实际还算接近，但也不是特别接近。当然，这是可以理解的，一方面最近和最远距离的测量存在1万千米的误差；另一方面，实际上月亮的轨迹根本不是闭合的！所以这肯定只是一个近似的模型！

模型任意项3：月亮是什么

对于月亮是什么，我们之前假设了月亮是个球体且不发光，而这样的假设可以非常好地解释月相的变化，看起来就非常可信了^[13]。除此之外，我们也知道了月亮的直径将近是地球的四分之一。

这些是针对月亮的几何构型而言的，至于月亮究竟是什么，我们很难通过肉眼判定。不过如果我们想用已知的事物来解释月亮的话，我们非常倾向于将它和地球来对比（因为地球也不发光），而当我们看到月亮表面单一的黑白色调，就倾向于认为月亮表面没有森林、海洋这些有大片颜色的东西，而可能只有空旷的地面。

另外，有一个很奇怪的现象是：我们看到月亮表面的形态好像从来没变过，那也就意味着，月亮一直是保持它的一面朝向我们，而背后还有一面是隐藏的！但问题是，月亮在绕着地球转动啊，它怎么可能始终保持一面朝向我们呢？

除非……月亮也在自转！而且自转的周期正好就等于月亮绕地球转动的周期！

可这也太巧了吧！不大可能吧！会不会是因为我们的肉眼观测能力有限，从而得出了错误的观测结果呢？但如果肉眼的观测结果没错、我们的推理也没错，这个巧合背后又有没有什么更深层次的原因呢？希望随着以后观测水平的提高，以及更进一步的探索，我们有机会对这些问题进行解答。

【注释】

[1]等我们学了数学，就可以用一个公式表达出测量结果，而在这个公式中我们可以清楚地看到影响这个测量结果的各个项，就可以比较方便地研究各个项引起的误差。

[2]这点我没有解释清楚。你可以想象你沿着一条直线画波浪线，你随机取波浪线上的点，并且量它和直线的距离。当你取的点足够多后，将这些距离取平均值，你会发现最终的平均值接近0，这代表着误差接近0。不过这只是定性和科普的解释，没有说服力。对此更深入的研究，我们将在有关概率论的一卷中进行。

[3]因为月亮和地球足够近，所以当我们处于地球表面看月亮方位变化的时候，地球自转会被掺入观测结果。而只有处于静止的地心，我们才能看到月亮真实的轨迹，所以我们要把参考系放到地心。

[4]这个计算过程是可以通过同比例作图推导出来的。如果你看不懂也没关系，只要懂得结果的含义就可以了。

[5]为什么是很接近而不是相等呢？因为这个周期会受地球进动的影响。就像太阳的方位变化周期是回归年而不是恒星年，月亮方位的变化周期也理应是“回归月”而不是“恒星月”。这个我们之后会说到。

[6]你可以从模型出发看能不能从理论上推测这个亮度的下降程度，如果不行，或许就要等到我们研究光学时再考虑了。

[7]这其实让我们联想到太阳一章中说过的两盏灯的问题——如果我们将一盏亮灯和一盏暗灯放在同一个方位，我们或许会因为亮灯太亮从而看不到暗灯；但是当我们将亮灯和暗灯放在不同方位的时候，我们没理由会因为亮灯太亮从而看不到暗灯啊！

[8]可以看到，这里是6585.3天而不是6585.5天，也就说明在考虑日月食的情况下，月亮的远近问题较为次要一些。

[9]你翻一下日历会发现，农历每个月要么是29天，要么是30天，几乎看不到28天或31天的情况。这说明，要么这样的摆动总是在一天范围内，要么我们人为把那些太过偏离的天数给平均了。

[10]毕竟这里算的是平均值，因此你可能会考虑一种极端情况：如果太阳在某段轨道运动较快，从而某两个中气之间的时间间隔小于30天，那这2个中气就可以被同时纳入1个大月中。对于这种情况，首先可以确定，它必定很罕见，另外，即使它发生了，这2个中气也必定处于月初和月末，从而可以把其中1个中气近似看作是处于前1个或后1个它们本该处的月份里。

[11]这点让我想起了我自己的生日。我妈告诉我，我的生日是1995年11月14日，我问这是农历还是公历的，她说是农历的，于是我查了一下日历，发现这天是公历1996年1月4日……我年轻了1岁！不过，等我年纪大到要办理身份证的时候，我很惊奇地发现户口本上写的我的生日是1994年5月26日。我问我妈怎么回事，她说因为家里超生，我和我二姐硬是被弄成龙凤胎，于是我户口上的生日变成了二姐的1994年5月26日……

[12]“廿”和“念”同声，就是二十的意思。这是古人留下来的习惯，其实我们口头上也经常将廿一、廿二、廿三等叫为二十一、二十二、二十三……

[13]在这里我们突然想到，在第一章中我们还不确定地球是否是球状的，而现在，地球的球状构型能解释月食现象，也就让我们更加有信心了。