本小节的目标是掌握各种不同目标函数值域的求法；掌握含参数的约束条件最优解的确定；识别什么样的问题可以用线性规划思想方法求解［约束条件的个数多于变元（二元）的个数问题］.线性规划问题的本质是求二元函数的取值范围问题，关键是明确约束条件和目标函数的几何意义，难点是约束条件或目标函数的转化简化问题，方法是数形结合.
【典例导悟】
（1）圆x2+y2=1在区域M内的弧长为________.
（2）当a从0连续变化到1时，动直线x+y=a扫过M中的那部分区域面积为________.
（4）点（x，y）在区域M内，则z=（x+1）2+（y+1）2的取值范围是______.
（9）点（x，y）在区域M内，若z=x+ay（a＞0）取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为_________.
（10）若点P（a+b，a-b）在区域M内，则2a+b的最大值为_________.
【解析】可行域M如图8-1阴影所示.
（图8-1）
可行域如图8-2阴影所示，令w=2a+b，则wmax=3.
例2 已知实数x，y满足x2+y2≤1，则｜2x+y-4｜+｜6-x-3y｜的最大值为________，最小值为_________.
（图8-2）
（图8-3）
（图8-4）
【解析】（1）当x≥2y时，可行域为图8-4中浅黑色区域，所以z=x-y，
即y=x-z，观察知zmax=zB=4，zmin=zA=-1.
（2）当x＜2y时，可行域为图8-4中深黑色区域，所以z=y，观察知
zmax=zCD=2，zmin=zA=-1.综上，zmax=4，zmin=-1.
【解析】因为目标函数为比值，故与△OMN形状无关，故可画成如图8-5所示的特殊图形.
方法1：特取M（2，0），N（0，2），则A（1，0），B（0，1），
（图8-5）
例5 若f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）内有两个零点，则3a+b的取值范围为________.
∵z=3a+b，∴zO=0，zA=-3，zB=-5，即-5＜z＜0，即3a+b∈（-5，0）.
变式 若f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在区间［0，1］内有零点，则ab的最大值为___________.
（图8-6）
（图8-7）
【解析】方法1：（线性规划法）
（图8-8）
【巩固训练】
1.如图8-9，已知可行域为△ABC及其内部，若目标函数z=kx+y当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围为______.
（图8-9）
3.实数x，y满足x2+y2≤1，则｜2x+y-2｜+｜6-x-3y｜的最小值为_________，最大值为_________.
12.若函数f（x）=x2+ax+b在（0，1）内有两个零点，则min｛f（0），f（1）｝的取值范围为________.
13.若关于x的方程x2+ax+b-3=0在区间［1，2］上有实根，则a2+（b-4）2的最小值为________.
14.设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）满足f（b）≥f（c），记f（x）的最小值为m（b，c），当b，c满足m（b，c）≥1时，则f（1）的最大值为________.(www.xing528.com)
15.设f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在［-1，1］上存在零点，且0≤b-2a≤1，则b的取值范围为________.
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