抽样检验特性曲线和接收概率

（一）批产品质量的判断过程

抽样检验的对象是一批产品，而不是单个产品。在提交检验的一批产品中允许有一些不合格品，可用批不合格品率P作为衡量其好坏的指标。

当然，P=0是理想状态。在抽样检验中，要做到这一点是困难的，从经济上讲，也没有必要。因此，在抽样检验时，首先要确定一个合格的批质量水平，即批不合格品率的标准值Pt，然后将交检批的批不合格品率P与Pt比较。如果P≤Pt，则认为这批产品合格，予以接收；如果P＞Pt，则认为这批产品不合格，予以拒收。但在实际中通过抽样检验是不可能精确地得到一批产品的批不合格品率P的，除非进行全数检验。所以在保证n对N有代表性的前提下，用样本中包含的不合格品数d的大小来推断整批质量，并与标准要求进行比较。因此，对批的验收归结为两个参数：样本量n和样本中包含的不合格（品）数，后者用Ac表示，称为合格判定数。这样就形成了一个抽样方案（n，Ac）。由此可以看出，用抽样方案（n，Ac）去验收一批产品实际上是对该批产品质量水平的推断并与标准要求进行比较的过程。

批质量的判断过程是：从批量N中随机抽取n个单位产品组成一个样本，然后对样本中每一个产品进行逐一测量，记下其中的不合格品数d，如果d≤Ac，则认为该批产品质量合格，予以接收；如果d≥Ac+1，则认为该批产品质量不合格，予以拒收。Ac+1即为不合格判定数，用Re来表示。

（二）抽样方案的接收概率

1.接收概率的概念

接收概率指的是具有一定质量的批，按给定的抽样方案判定该批产品合格而接收的可能性大小，即该批产品的合格概率。

当该批产品质量为给定值，使用一定抽样方案验收时，接收该批的概率用L（P）或PA表示。如果抽样方案（n，Ac）中样本量n与接收数Ac已确定，则由概率加法定理可得

式中，P0，P1， ... ，PA为在抽取样本中不合格品数分别等于0，1， ... ，Ac时的概率；Pd为在抽取样本中不合格品数等于d个的概率。

当批量N及其中不合格品数D确定（批质量水平P确定）后，接收概率L（P）取决于抽样方案（n，Ac），即与样本及接收数有关。

2.接收概率的计算

在各种抽样检验方案中，一次抽样检验方案是基础，弄清一次抽样检验方案的原理，其他抽样检验方案就容易理解，因此我们以一次抽样检验方案为例，讨论抽样检验的原理和方法。

（1）超几何分布算法。样本中不合格品数d的抽取概率Pd的计算方法要是知道，我们就能求出L（p）。假设检验批的批量为N，其中不合格品数为D，则批不合格品率P=（D/N）×100%。现从批中随机抽取n个单位产品，则样本中出现d个不合格品的概率可按超几何分布公式计算：

所以，接收概率L（P）为：

（2）二项分布计算法。由概率论知，当总体为无穷大或近似无穷大（）时，可用二项概率去近似求超几何概率。故利用二项分布计算接收概率的公式为：

上式适合于无限总体计件抽样检验时接收概率的计算。

（3）泊松分布计算法。当且P﹤0.1时，超几何概率又可用泊松分布近似计算，故接收概率可用泊松分布表示为：

上式适合于计点抽样检验时接收概率的计算。在实际操作时，一般都能满足二项分布和泊松分布的条件，超几何分布并不常用。

【例8-3】罐装啤酒的玻璃瓶，如果把玻璃瓶上的每个气泡作为1个缺陷已知每个容器上的平均气泡数0.1，若采用（10，2）方案来验收，则接收该批产品的概率L（P）为：

（三）抽样检验方案的特性曲线

1.OC曲线的概念

对于具有不同的不合格率P的检验批，在抽验中，都可以求出相应的接收概率L（P）。如果以P为横坐标，以L（P）为纵坐标，根据L（P）和P的函数关系，可以做出1条曲线，这条曲线就是这一抽样检验方案的操作特性曲线（Operating Characteristic Curve），简称OC曲线，如图8-5所示，它实际上是OC函数的直观表示。

抽样方案与OC曲线是一一对应的关系，即对应于不同的抽样方案（n，Ac），都相应有不同的OC曲线，反之亦然。根据OC曲线，可查知采用该曲线所对应的抽样检验方案验收产品批时，与某一质量水平P相对应的L（P）值。

图8-5　计数标准型一次抽样方案的OC曲线

采用不同的抽验方案验收检验批时，批的接收概率L（P）虽然都是P的函数，但相应于不同方案的L（P）形式是不同的，不同的L（P）函数形式反映了不同的抽样检验方案的操作特性。通过OC曲线可直观地比较不同抽样方案对检验批的鉴别能力，选择合适的抽样方案。(www.xing528.com)

2.OC曲线分析

（1）理想方案的OC曲线。在进行产品质量检查时，总是首先对产品批不合格品率规定一个值Pt作为判断标准，即当批不合格品率P≤Pt时，产品批为合格，而当P＞Pt时，产品批为不合格。因此，理想的抽样方案应当满足：当P≤Pt时，接收概率L（P）=1，当P＞Pt时，L（P）=0。其抽样特性曲线为两段水平线，见图8-6。

但是，理想的OC曲线实际上是不存在的，除非100%检验并且保证不发生错检和漏检。

（2）不理想的OC曲线。当然，我们也不希望出现不理想的OC曲线。例如，方案（10，1，0）的OC曲线为一条直线，如图8-7所示。从图中可看出，这种方案的判断能力是很差的。因为，当批不合格品率P达到50%时，接收概率仍有50%，也就是说，这么差的两批产品中，也会有一批将被接收。

图8-6　理想的OC曲线

图8-7　不理想的OC曲线

（3）实际的OC曲线与两类风险。理想的OC曲线显然是我们最想要的，但是由于受到实际条件的限制，我们是不可能得到的。所以我们能够得到的只能是一种较为理想的折中方案：当批质量好时（P≤P0），能以较高的接收概率判它接收；当批质量差到某个规定的界限（P≥P1）时，能以较高的概率判它拒收；当产品质量变坏（如P0≤P≤P1）时，接收概率要能够迅速减少。这样的OC曲线如图8-8所示。

在这样的一条实际的OC曲线所表示的方案中，当产品的批质量比较好（P≤P0）时，不可能100%地接收（除非P=0），而只能以较高的概率接收，并以一个较低的概率α予以拒收。这种由于抽检方案的原因而把合格品判为不合格品并予以拒收的错误称为第一类错误。拒收的概率α叫作第一类错判概率。这种错判会给生产者带来损失，因此这种错判的风险又称为生产方风险，拒收概率α又称为生产方风险率，它反映了把质量较好的产品批错判为不合格并予以拒收的概率。

图8-8　实际的OC曲线

同时，当产品不合格率较高（如P≥P1）时，也不会100%地予以拒收（除非P=1），而是以较小的概率β接收。这种由于抽样检验的原因把不合格品错判为合格品并予以接收的错误称为第二类错误，它会使用户受到损失。这个将不合格品错判为接收的概率β叫作第二类错误概率，又叫使用方风险率。

3.OC曲线与N、n、Ac之间的关系

抽样特性曲线和抽样方案是一一对应的关系，也就是说有一个抽样方案就有与之对应的一条OC曲线；同时，有一条抽样特性曲线，就有与之对应的一个抽样检验方案。因此，当抽样检验方案变化，即N、n和Ac变化时，OC曲线也必然随之发生变化。下面具体讨论OC曲线是怎样随着这3个参数的变化而变化的。

（1）n、Ac固定，N变化。如图8-9所示，4个方案均为（n=20，Ac=0）的特性曲线，最大的N和最小的相差20倍，但它的OC曲线非常接近，如果按N=∞，n=20，Ac=0的方案再在图上画出OC曲线，它将与方案N=1000，n=20，Ac=0的OC曲线几乎重合，即N对OC曲线形状影响很小，所以抽样方案常用n，Ac两个数字来表示。当N/n≥10时，在决定抽样方案时，就可以不考虑批量大小N的影响。应当注意的是，抽样检验总会存在误判的可能。所以，如果N过大，那么在抽样检验时一旦犯错误，将产品误判为不合格并予以拒收，就会带来巨大的损失。所以在决定批量时，不能为了分摊检验成本而将批量取得过大。

图8-9　n、Ac固定，N变化对OC曲线的影响

（2）N、n固定，Ac变化。OC曲线的变化如图8-10所示，当N=1000，n=50，Ac值则由大变小时，曲线由右向左移动且倾斜度变大，相同P值时L（P）值减小，这表明OC曲线对质量变化的反应越敏感，所代表的抽样检验方案越严，对批质量水平的鉴别能力越强。反之，Ac增加，L（P）值也增加，方案变宽。

曲线往左移动，并不是平行移动，越往左曲线越陡，L（P）变化较大，也就是灵敏度增加，即P值稍有增加，L（P）变化很大，这种情况是不希望发生的。从理想情况看，当P减小到P＜P0时，不仅希望L（P）值大，而且希望较稳定，不要发生剧变。当Ac=0时，OC曲线顶部没有拐点，是顶部为尖形的曲线，这类OC曲线的顶部接收概率随批质量的变化较敏感，因此生产方的风险较大，故尽量不要使用Ac=0的抽样方案。

（3）N、Ac固定，n变化。如图8-11所示，当N=1000，Ac=1时，增加n，曲线往左移，接收概率变小，方案变严，且灵敏度也增加。

图8-10　N、n固定，Ac变化对OC曲线的影响

图8-11　N、Ac固定，n变化对OC曲线的影响

（四）百分比抽样的不合理性

有些企业使用的是百分比抽样方案。所谓百分比抽样方案就是不论批量大小，都按一定的百分比抽取样本进行检验，而且在样本中允许的不合格品数（接收数Ac）都是一样的。仅从表面上看，这种抽样方案好像是很公平合理的，其实这种方案是一种很不科学的方案。

设有批量不同但批质量相同（如批不合格品率均为6%）的三批产品，批量分别为500，1000和2000。根据百分比抽样方案假定抽取样本比例为5%，接收数Ac=2。则三批产品的相应的抽样方案分别为Ⅰ（25，2）；Ⅱ（50，2）；Ⅲ（100，2）。在确定了抽样方案之后，就可以绘出各抽样方案的OC曲线。为便于比较，将三种方案的OC曲线绘于同一个图中，如图8-12所示。

从图8-12中可以很明显地看出，方案Ⅲ比方案Ⅱ严，方案Ⅱ比方案Ⅰ严。也就是说百分比抽样是大批严，小批宽，即对批量大的检验批提高了验收标准，而对批量小的批却降低了验收标准。对相同质量水平的产品却采用了不同的验收标准，可见百分比抽样是不合理的。

图8-12　百分比抽样方案的特性曲线