线性代数学习辅导：单元测试题及解析

1.填空题

（1）设，有初等矩阵P，Q使得PAQ=B，则P=

，Q=.

（2）已知矩阵，则R（A）=.

（3）齐次线性方程组，仅有零解，则λ应满足条件为.

（4）若四元线性方程组Ax=0的同解方程组是，则系数矩阵A的秩R（A）=

，自由未知量的个数有个.

（5）已知矩阵，B为三阶非零矩阵，且AB=O，则λ=.

2.单项选择题

（1）设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记，则（ ）.（2006年，考研，数学一）

（A）C=P^-1AP； （B）C=PAP^-1；

（C）C=P^TAP； （D）C=PAP^T.

（2）设A是n阶方阵，A经过若干次初等列变换变为矩阵B，则（ ）.

（A）A=B； （B）存在可逆矩阵P，使PA=B；

（C）存在可逆矩阵P，使PB=A； （D）存在可逆矩阵P，使BP=A.

（3）设矩阵A的秩R（A）=r，则（ ）.

（A）A的r-1阶子式都不为0； （B）A的r阶子式都不为0；

（C）A是一个r阶方阵； （D）A至少有一个r阶子式不为0.

（4）设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=O，则R（A），R（B）（ ）.

（A）必有一个等于零； （B）都小于n；

（C）一个小于n，一个等于n； （D）都等于n.

（5）若线性方程组Ax=b中方程的个数少于未知量的个数，则有（ ）.

（A）Ax=b必有无穷多解； （B）Ax=0仅有零解；

（C）Ax=0必有非零解 ；（D）Ax=b一定无解.

3.设，求满足方程AX=2X+B的矩阵X.

4.设A，讨论a，b的取值，确定R（A）.

5.解齐次线性方程组

6.设线性方程组为，问：k取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解.

7.设，已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解，（1）求λ，a；（2）求方程组Ax=b的通解.（2010年，考研，数学三）

8.已知平面上三条不同直线的方程分别为(www.xing528.com)

l₁：ax+2by+3c=0，

l₂：bx+2cy+3a=0，

l₃：cx+2ay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.（2003年，考研，数学一）

9.设A为n阶方阵，且R（A）=1，证明：

参考答案

（5）-3.提示：若R（A）=3，则A可逆，则B=O与题设矛盾，所以R（A）≤2，从而，即λ=-3.

2.（1）（B）；提示：由题设B=PA，而，则有C=PAP-1.

（2）（D）；（3）（D）；

（4）（B）；提示：A，B皆为n阶非零矩阵，即矩阵有一阶非零子式，故R（A）≥1，R（B）≥1；又由于AB=O，故R（A）+R（B）≤n（矩阵秩的性质）；综上所述，有1≤R（A）≤n-1，1≤R（B）≤n-1.

（5）（C）.

3.

4.当a≠-8，b≠-2时，R（A）=4；当a≠-8，b=-2时，R（A）=3；

当a=-8，b≠-2时，R（A）=3；当a=-8，b=-2时，R（A）=2.

5.

6.当k≠-1且k≠4时，方程组有唯一解；当k=-1时，方程组无解；

当k=4时，方程组有无穷多解.通解

7.（1）由题意知，Ax=b的增广矩阵为

因Ax=b有两个不同的解，故R（B）=R（A）<3，即1-λ²=0，且a+1-λ=0，但λ=1时，R（A）=1<R（B）=2，方程组无解，故λ=-1，且a=-2.

（2）由（1）知

所以Ax=b的通解为k（其中k为任意常数）.

8.必要性：设三条直线l₁，l₂，l₃交于一点，则线性方程组

有唯一解，故其系数矩阵A与增广矩阵B的秩均为2，于是B=0，而

=3（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]，

根据题设（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≠0，故a+b+c=0.

充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知，B=0，故R（B）<3.由于

故R（A）=2.所以R（A）=R（B）=2，因此方程组（*）有唯一解，即三条直线l₁，l₂，l₃交于一点.

9.由R（A）=1知存在n阶可逆矩阵P和Q，使，即

令，则