本节列举几个具有某些特点的不定方程的例子.通过这些例子可以看到不定方程种类的多样性及其解法的灵活性.
例3.4.1 求不定方程2（x+y）=xy+7的整数解.
解 设（x，y）是原不定方程的解.则必有y-2=
这表明x-2|3.故x∈｛2±1，2±3｝=｛3，1，-1，5｝.由此可得2（x+y）=xy+7的解为（3，-1），（1，5），（-1，3），（5，1）.解毕.
例3.4.2 求方程x2y+2x2-3y-7=0的整数解.
解 设（x，y）是该方程的整数解.则（x2-3）（y+2）=1.故
x2-3=y+2=1或x2-3=y+2=-1.
于是原方程有两组整数解（2，-1）和（-2，-1）.解毕.(www.xing528.com)
例3.4.3 求方程x3+y3=1072的正整数解.
解 设（x，y）是该方程的正整数解.则显然有（x，y）≠（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1）和（x+y）（x2-xy+y2）=1072=24×67.注意到
及（x，y）≠（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），有
，即x2-xy+y2≥x+y.由于1072的正因数有1，2，4，8，16，67，134，268，536，1072，经过简单验证可知x+y=16，x2-xy+y2=67.故x+y=16，xy=63.于是（x，y）=（7，9）或（x，y）=（9，7）.解毕.
例3.4.4 求方程3x2+7xy-2x-5y-17=0的正整数解.
解 设（x，y）是该方程的正整数解.则
由x≥1，y≥1知x≥1且-3x2+2x+17≥7x-5.解此不等式可得1≤x≤2.故（x，y）=（1，8）或（x，y）=（2，1）.解毕.
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