本节在介绍同余的基本性质的基础上，通过具体的例子展示同余理论的若干应用.
定义4.1.1 设m是正整数，a，b∈Z.称a，b对模m同余，若a和b被m除所得余数相同.此时，记作a≡b（modm）.
下面的结论是显然的.
命题4.1.2 设m是正整数，a，b，c∈Z.
（1）a≡a（modm）.
（2）若a≡b（modm），则b≡a（modm）.
（3）若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）.
命题4.1.3 设m是正整数，a，b∈Z.则a≡b（modm）当且仅当m|a-b.
证明 设a=q1m+r1，b=q2m+r2，0≤r1，r2＜m.若a≡b（modm），则r1=r2，于是m|（q1-q2）m=q1m-q2m=a-b.反之，若m|a-b，则m|（q1-q2）m+r1-r2.这表明m|r1-r2.注意到-m＜r1-r2＜m，有r1=r2，即a≡b（modm）.证毕.
命题4.1.4 设m，n是两正整数，a，b，c，d，k∈Z.
（1）若a≡b（modm），c≡d（modm），则
a+c≡b+d（modm），ac≡bd（modm），ka≡kb（modm），an≡bn（modm）.
（2）若a+b≡c（modm），则a≡c-b（modm）.
（3）若ad≡bd（modm），（d，m）=1，则a≡b（modm）.
（4）若a≡b（modm），a≡b（modn），（m，n）=1，则a≡b（modmn）.
证明 （1）由a≡b（modm），c≡d（modm）及命题4.1.3知m|a-b，m|c-d.于是有
m|a-b+c-d=a+c-（b+d），m|c（a-b）+b（c-d）=ac-bd，
据命题4.1.3知
a+c≡b+d（modm），ac≡bd（modm）.
类似可知ka≡kb（modm），an≡bn（modm）.
（2）这由事实m|a+b-c等价于m|a-（c-b）及命题4.1.3立得.
（3）由ad≡bd（modm）及命题4.1.3知m|ad-bd=（a-b）d.由于（d，m）=1，故m|a-b，据命题4.1.3知结论成立.(www.xing528.com)
（4）由已知条件知m|a-b，n|a-b.由（m，n）=1及命题1.2.9（6）知mn|a-b，从而a≡b（modmn）.证毕.
下面考虑上述性质的一些应用.容易看出，正整数a的个位数码就是a被10除得到的余数；正整数a的最后两位数码就是a被100除得到的余数.
例4.1.5 求72014的个位数码和十位数码.
解 由72=49≡-1（mod10）知（72）1007≡（-1）1007（mod10）.这表明72014≡9（mod10）.于是，72014的个位数码是9.另一方面，由74≡1（mod100）知（74）503≡1503（mod100）.这表明72014=（74）503×72≡1×72≡49（mod100）.于是，72014的十位数码是4.解毕.
例4.1.6 证明641|225+1.
证明 首先，641|225+1当且仅当232≡-1（mod641）.注意到640=27×5和（54，641）=1，有
容易看出，最后一个同余式是显然的，故结论成立.证毕.
命题4.1.7 设m是正整数.又设x，y，ai，bi∈Z且
则
证明 据命题4.1.4及已知条件知aixi≡biyi（modm），i=0，1，2，…，n.将上述n+1个同余式两边分别相加立得所证结论.证毕.
命题4.1.8 设a=an×10n+an-1×10n-1+…+a1×10+a0，其中0≤ai≤9，i=0，1，…，n.则
特别的，
证明 利用事实10≡1（mod3），10≡1（mod9）和10≡-1（mod11）及命题4.1.7立得.证毕.
例4.1.9 求15325-1被9除的余数.
解 由命题4.1.8知1532≡1+5+3+2≡2（mod9）.故15325≡25≡5（mod9）.于是15325-1≡4（mod9）.这表明15325-1被9除的余数为4.解毕.
例4.1.10 在乘法式3145·92653=291□93685中补上遗漏的数码□.
解 由命题4.1.8知
3145≡3+1+4+5≡4（mod9），92653≡9+2+6+5+3≡-2（mod9），
3145·92653≡-8≡1（mod9），
291□93685≡2+9+1+□+9+3+6+8+5≡（□-2）（mod9）.
于是□-2≡1（mod9），即□≡3（mod9）.注意到0≤□≤9，有□=3.解毕.
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