初等数论：连分数的性质

把连分数[a0，a1，a2，a3，…，an，…]前几个渐近分数写出来：

显然，如果继续计算下去，后面的渐近分数式子更繁.有没有办法写出第n＋1个渐近分数呢？一般地我们有下面的定理.

证明 用数学归纳法.

（1)当n=2时，直接计算可知结论正确.

（2)假设n=k时，结论正确，即

当n=k＋1时，

由（1)，（2)可知，结论对一切不小于2的正整数n都成立.

按定理1给出的公式，可以逐步求出连分数的渐近分数列.

解 p0=3， q0=1，

因而其渐近分数列为

定理中给出的求渐进分数分子和分母的公式，与第一章表示两个数的最大公约数为这两个数倍数和的欧拉算法依据实质上一致.故求渐进分数分子和分母的上述过程，从第3个分子和分母开始，可以用表格的形式简单计算、表述（我们称之为表格法)如下：

上例中还存在着如下关系：

一般地，有下面的定理.

定理2 （1)两个相邻的渐近分数之差为

（2)两个相隔一个的渐近分数之差为

证明 （1)当n=1时，

结论正确.

假设n=k时，结论正确，即

也就是pkqk-1-pk-1qk=（-1)k-1.

当n=k＋1时，

所以结论对一切n≥1都成立.

（2)由（1)式可知，

上两式相加，得

证毕.

定理3 （1)当n＞1时，qn≥n；

（3)连分数的渐近分数都是既约分数.

证明 （1)∵当n＞1时，an≥1，qn-2≥1，

（2)由定理2可知，(www.xing528.com)

故

即渐近分数列中偶数项子列为递减数列：

渐近分数列中奇数项子列为递增数列：

∵相邻两项

（3)由定理2知，pnqn-1-pn-1qn=（-1)n-1.

若（pn，qn)=d＞1，则d|（-1)n-1，矛盾.

定理3表明，在渐近分数列中，奇数项单调递增，偶数项单调递减；并且随着n的增大，相邻两个渐近分数之差的绝对值趋于零.

证明 由定理2和定理3知，

故

可见，数列

单调递增有上界，从而极限存在.

而数列

单调递减有下界，从而也有极限.

又由定理2和定理3知，当n→∞时，

有

即

所以这两个极限存在且相等，并等于渐近分数列的极限.

显然α是无理数，否则，α必可化成有限连分数，与已知矛盾.

故结论成立.

无限连分数[a0，a1，a2，a3，…，an，…]的渐近分数列的极限，称为该无限连分数的值.

由定理可知，无限连分数的值是一个无理数；其渐近分数列中，奇数项都是其不足近似值，偶数项都是其过剩近似值；渐近分数列在左右两侧跳跃逼近其真值.

在实际问题中，无限连分数的值不易求得，而是根据预定的精确度，求其近似值，下一节我们作专项介绍.

习题4.2

1.计算下列连分数的值及渐近分数：

（1)[1，2，3，4]；（2)[3，2，3，4，5]；（3)[2，1，1，4，1，1].

2.求下列各数的渐近分数：