为了说清楚什么是多重分形，以及刻画多重分形的多重分形谱（Multifractal spectrum），先介绍一个简单的例子。这个例子通过往经典的康托尔集上赋予质量而形成一种非常不规则的一维地形。这种地形具有典型的多重分形特性。为了定量化这种特征，引入了多重分形谱这一数学工具。通过简单的计算以及数值试验，可以初步了解到多重分形的作用与功能，至于严格的定义与具体的计算方法则留给下一小节详细说明。
（1）康托尔尘
康托尔尘（学名康托尔集Cantor Set）是由大数学家乔治·康托尔提出来的一种一维的分形集。它的构造非常简单。把[0，1]闭区间三等分，形成三个闭区间：[0，1/3]， （1/3，2/3）， [2/3，1]，把中间的区间去掉，剩下[0，1/3]， [2/3，1]，然后再对这两个闭区间分别进行同样的操作，即三等分，然后把中间的去掉。这个操作可以一直重复下去，直到无穷。最终形成的那个无穷小测度的集合就是所谓的康托尔集。
图4-9形象地展示了这个不断重复地建模过程（6步）：
图4-9 康托尔集的构造过程(www.xing528.com)
（2）康托尔尘上的质量分布
康托尔尘是一个经典的分形（Fractal），它的分形维数为ln2/ln3。构造多重分形，即给每个小区间赋予质量。具体地，也可以按照如下的步骤递归地进行下列操作：首先，将[0，1]均分为三份，去掉中间的那个小区间，剩下两个小区间[0，1/3]和[2/3，1]。给左边的小区间分配质量1/3，右边的分配2/3。接下来再把[0，1/3]分为三份，去掉中间的小区间，剩下的两个小区间[0，1/9]和[2/9，1/3]，左边分1/3的质量，右边分2/3的质量，而[0，1/3]的小区间仅仅有1/3的质量，这样[0，1/9]这个小区间就分配到了1/3*1/3=1/9的质量，而[2/9，1/3]则分配到了2/3*1/3=2/9的质量……。这样，每对小区间划分一次，就把该小区间上的质量的1/3分到左边，把2/3分到右边。如此循环往复地进行下去。用矩形的高度来表示小区间分配的质量，则上述分配过程可以形象地表达为图4-10：
图4-10 康托尔尘上的质量分配
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
