绝对值的几何意义及典型例题

1.数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.所有的实数都可以用数轴上的点来表示,也可以用数轴来比较两个实数的大小.

2.绝对值

几何意义:|a|表示在数轴上a点与原点0之间的距离.

|a-b|表示在数轴上a点与b点之间的距离.

典型例题

例21|a|+|b|+|c|-|a+b|+|b-c|-|c-a|=a+b-c.

(1)a,b,c在数轴上的位置如下:

(2)a,b,c在数轴上的位置如下:

【解析】条件(1):由a,b,c在数轴上的位置关系得

|a|+|b|+|c|-|a+b|+|b-c|-|c-a|=a-b-c-a-b+b-c-a+c=-a-b-c.

所以,条件(1)不充分.

条件(2):由a,b,c在数轴上的位置关系得

|a|+|b|+|c|-|a+b|+|b-c|-|c-a|=-a-b+c+a+b-b+c+a-c=a-b+c.

所以,条件(2)不充分.

两个条件无法联立.

【答案】(E)

例22已知|a|=5,|b|=7,ab＜0,则|a-b|=(　　).

(A)2(B)-2(C)12(D)-12(E)0

【解析】

方法一:由ab＜0,可知a=5,b=-7或a=-5,b=7,分别代入得|a-b|=12.

方法二:绝对值的几何意义.

|a-b|表示在数轴上a点与b点之间的距离.当ab＜0时,a、b两点在原点的两侧,画数轴易知,距离为|a-b|=|a|+|b|=5+7=12.

【答案】(C)

【快速得分法】排除法.

由绝对值的非负性,知|a+b|≥0,所以排除(C)、(E)项;显然|a+b|≠0,因为a,b不可能互为相反数,所以排除(A)、(B)项.

【答案】(D)

例24设a,b,c为整数,且|a-b|20+|c-a|41=1,则|a-b|+|a-c|+|b-c|=(　　).

(A)2(B)3(C)4(D)-3(E)-2

【解析】观察选项可知,答案只能是一种情况,故可用特殊值法.

令a=b=0,c=1,代入可得|a-b|+|a-c|+|b-c|=2.

【答案】(A)

例25

实数a,b满足:|a|(a+b)＞a|a+b|.

(1)a＜0.

(2)b＞-a.

【解析】条件(1):举反例,令a=-1,b=1,显然不充分.

条件(2):举反例,令a=0,显然不充分.

联立两个条件:

由条件(2)可得a+b＞0,所以a+b=|a+b|,原不等式可化为|a|＞a.

由条件(1)a＜0,可知|a|＞a成立.

故两个条件联立起来充分.

【答案】(C)

3.绝对值的性质

典型例题(www.xing528.com)

所以a＜b.

【答案】(C)

【解析】当a,b,c为三负时,结果为-3;

当a,b,c为三正时,结果为3;

当a,b,c为两正一负时,结果为1;

当a,b,c为一正两负时,结果为-1.

故有4种可能的取值.

【答案】(D)

4.三角不等式

(1)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

等号成立的条件:

左边等号:ab≤0;右边等号:ab≥0.

口诀:左异右同,可以为零(即左边等号成立的条件是a,b异号,右边等号成立的条件是a,b同号,a,b中的任意一个为零,等号也成立).

(2)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.

等号成立的条件:

左边等号:ab≥0;右边等号:ab≤0.

口诀:左同右异,可以为零(即左边等号成立的条件是a,b同号,右边等号成立的条件是a,b异号,a,b中的任意一个为零,等号也成立).

典型例题

【解析】方法一:三角不等式|x-y|≤|x|+|y|,当x、y异号时等号恒成立,故两个条件都成立.

方法二:绝对值的几何意义.

|x-y|表示数轴上点x与点y之间的距离.当x、y异号时,点x、点y位于原点的两侧,点x与点y的距离为x、y到原点的距离之和,即|x-y|=|x|+|y|.

【答案】(D)

本节习题自测

7.x=8.

(1)|x-3|=5.(2)|x-2|=6.

8.不等式|1-x|+|1+x|=2.

(1)x∈[-1,1].(2)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

习题详解

1.(C)

4.(B)

【解析】方法一:分组讨论:

①b=4⇒a＜1⇒|a-1|=1-a=3⇒a=-2⇒|a-1-b|=7;

②b=-4⇒a＞1⇒|a-1|=a-1=3⇒a=4⇒|a-1-b|=7.

方法二:三角不等式法.

7.(C)

【解析】条件(1):|x-3|=5,即x-3=5或x-3=-5,解得x=8或x=-2,所以条件

(1)不充分.

条件(2):|x-2|=6,即x-2=6或x-2=-6,解得x=8或x=-4,所以条件(2)不充分.

条件(1)和条件(2)联立可以推出x=8.故两个条件联立充分.

8.(A)

【解析】根据三角不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,可将1-x看作a,1+x

看作b,得

右边一组不等式可化简为2≤|1-x|+|1+x|,再根据三角不等式等号成立的条件,可知

当(1-x)(1+x)≥0时,右边等号成立,解得-1≤x≤1,条件(1)充分,条件(2)不充分.