曲面切平面与法线探究

曲面的切平面与法线的作图方法如图4-44所示。

在图4-44中，π平面为过曲面∑上P点的切平面，曲面∑上过P点的所有曲线的切线均在此平面上。若将π平面看做是交点为P的两相交直线所决定的平面，则过P点的曲面的切平面可以这样求作，即先在曲面∑上过P点作出两条曲线C₁、C₂，然后分别作出两条曲线在P点的切线T₁、T₂，则T₁、T₂两相交直线所构成的平面就是曲面∑上过P点的切平面π。曲面在P点的法线N自然与π平面垂直。

1.球面的切平面与法线

如图4-45所示，过I点的球面切平面和法线作图方法如下

1）将球心O与I点相连得OI直线。

2）过I点作平面π与直线OI垂直，则平面π即为球面上过I点的切平面，直线OI为过I点的法线。

图4-44 曲面的切平面与法线

图4-45 球面上点的切平面与法线

在图4-45所设的坐标系中，平面π正面迹线π_V上的点N₁的坐标为

平面π_V对X轴的倾角θ与u、v两参数的关系为

-tanθ=tanvcosu （4-69）

由式（4-68）、式（4-69）得平面π_V的方程为

令式（4-70）中z=0，可得平面π_V与X轴的交点π_x的x坐标为

考虑到迹线π_H对X轴的倾角为，可得迹线π_H的方程为

于是切平面π的方程为

而过I点的法线OI的两个投影（oi，o′i′）的方程分别为

2.斜椭圆锥面的切平面与法线

斜椭圆锥面上I点的切平面与法线作法如图4-46所示。

1）将锥顶S与I点相连得一素线IS。

2）过I点作一水平截面截切斜椭圆锥，得一交线圆。

3）过I点作一水平线IT与交线圆相切。

4）将IT、IS相交两直线所代表的平面转化为迹线平面π。平面π即为斜椭圆锥面上过I点的切平面。在图4-46所示的坐标系中，直线IS的水平迹点M的坐标为

图4-46 斜椭圆锥面上点的切平面与法线

切平面π的水平迹线π_H过M点且平行于直线IT的水平投影it，故知π_H与X轴的夹角为，由此可得π_H的方程为

令式（4-76）中y=0，得π_H、π_V交点π_x的坐标为

又直线IS的正面迹点即锥顶S的坐标为

由式（4-77）、式（4-78）可得切平面π的正面迹线π_V的方程为

于是切平面π的方程为

而斜椭圆锥面上过I点的法线IN的两个投影in、i′n′的方程为

当时，可得圆锥面的切平面及法线方程为

3.斜椭圆柱面的切平面与法线

斜椭圆柱面上I点的切平面与法线作法如图4-47所示。

1）过I点作斜椭圆柱面上一条直素线IL。

2）过I点作一水平线IT，使IT与截交线圆相切于I点，则IL与IT两相交直线构成的平面即为切平面π。

在图4-47所示的坐标系中，直线IL的水平迹点M的坐标为

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切平面π的水平迹线π_H与X轴的夹角为，所以π_H的方程为

令式（4-81）中y=0，得π_x点的坐标为

图4-47 斜椭圆柱面上点的切平面与法线

又由于切平面π的正面迹线π_V与X轴的夹角为α，所以π_V的方程为

于是切平面π的方程为

过I点的法线的投影i′n′、in的方程为

当时，可得圆柱面的切平面与法线的方程分别为

式（4-86）为一铅垂面方程。

式（4-87）为一条水平线。

4.圆环面的切平面与法线

圆环面上I点的切平面与法线的作图如图4-48所示。

1）过I点作圆环纬线圆的切线IT₁（i′t′₁，it₁）和法线IT₂（i′t′，it₂），则IT₁、IT₂两相交直线构成一平面。此平面即为圆环面上I点的切平面。

2）将直线IT₁、IT₂所构成的平面转化成迹线平面π。在图4-48所示坐标系中，IT₁、IT₂两直线的正面迹点N₁、N₂坐标分别为

由此可得切平面π的正面迹线π_V的方程为

令式（4-90）中z=0，得π_x点的坐标为

π_H与X轴的夹角为且π_H过π_x点，因此π_H的方程为

于是切平面π的方程为

过I点的法线的投影i′n′、in的方程为

5.旋转椭圆球面的切平面与法线

过旋转椭圆球面上I点的切平面与法线的作图方法如图4-49所示。

1）过I点作一纬圆，并作此纬圆在I点的切线T₁。

2）过I点作旋转椭圆球面经线的切线T₂。

3）将T₁、T₂两相交直线构成的平面转化为迹线平面π，平面π即为旋转椭圆球面过I点的切平面。

图4-48 圆环面上点的切平面与法线

图4-49 旋转椭圆球面上点的切平面与法线

在图4-49所示坐标系中，π平面正面迹线π_V上1、2两点的坐标分别为，，因此π_V迹线方程为

令式（4-95）中z=0，得π_x点的坐标为

切平面π的水平迹线π_H与X轴的夹角为，所以π_H的方程为

于是切平面π的方程为

而过I点的法线IN的两个投影i′n′、in的方程为