柯西问题解的唯一性与稳定性

本节讨论波动方程的柯西问题

解的唯一性与稳定性。

1）柯西问题解的唯一性

对于柯西问题，如果按照式（2.139）计算整个平面t＝常数上的能量，此时积分可能是发散的，因此只能计算在（x，y）平面的某个有限区域上的能量。在区域Ω上，由于能量在边界上的流进与流出，它的总量不一定会是常数。因此考察一个随时间增加而缩小的区域Ωt，它在（x，y，t）空间构成一个特征锥K（图2.11）：

图2.11　特征锥示意图

锥体K在平面t＝0上的截面即其底面是一个圆面

而锥体K就是底面Ω0的决定区域。在时刻t时，区域Ωt上各点处解的数值由Ω0上的初始条件所完全决定，设u∈C2（R2×（0，T））是柯西问题（2.149）的解，则

式（2.152）两边对t求导，则

其中，ds表示圆弧的线素rdθ。利用复合函数求导公式即得

式中，Γt为区域Ωt的边界。再由格林公式，可将上式写为

式（2.155）右端第一项积分为零，而第二项沿Γt的线积分的被积函数

因此

即(www.xing528.com)

唯一性得证。

定理2.5　波动方程柯西问题（2.149）的解是唯一的。

2）柯西问题解的稳定性

定理2.6　对于齐次波动方程的柯西问题（2.149）的解，在下述意义下关于初值是稳定的：对于任何给定的ε＞0，一定可找到仅依赖于ε和T的η＞0，只要

则对应于初始值（φ1，φ1）的解u1与对应于初始值（φ2，φ2）的解u2的差在上成立

又在锥体K上成立

证明　对于任何满足柯西问题（2.149）的函数u（x，y，t），引进积分

将它关于t求导，得到

则

结合式（2.156）就得到对于成立

式中，C1为与η无关的常数，于是取，即成立式（2.158），再关于t积分即得式（2.159）。