社会福利函数的最大化

整个社会的福利水平是由所有个人的福利水平决定的，即社会福利水平是社会所有个人效用水平的函数。社会福利水平与个人效用水平之间的函数关系，就是社会福利函数。社会福利函数用公式表示为

W=f（U_A，U_B） （8⁃5）

式中，W代表社会福利水平，U_A和U_B分别代表消费者A和消费者B的效用水平。公式表示，当W的水平确定时，U_A和U_B之间存在此消彼长的关系；同时，当消费者A、消费者B的效用水平提高以后，W的水平就会提高；反之亦然。社会福利水平的高低不同，可以通过坐标中的社会无差异曲线表示出来，如图8⁃8所示。

在图8⁃8中，横轴表示消费者A的效用水平，纵轴表示消费者B的效用水平，W₁表示两个消费者效用水平不同组合点的集合，形成同一个社会福利水平。W₂、W₃也表示了同样的意思，只是社会无差异曲线离原点越远，表示的社会福利水平越高。社会无差异曲线表示了一种关于社会福利水平的主观愿望，而现实中能否实现这一愿望，则要看效用可能性曲线处于什么位置上。结合社会无差异曲线和效用可能性曲线，可以求得社会福利的最大水平，如图8⁃9所示。图8⁃9是由图8⁃7和图8⁃8合并而成，曲线W₁与UU′相交于S、S′，曲线W₂与UU′相切于e点，曲线W₃与UU′不相关。从图中可见，在UU′线上的三个点S、S′、e表示在现有资源和技术水平条件下消费者效用水平的不同组合。那么，哪个组合点能够使社会福利水平达到最大化？很明显，社会无差异曲线和效用可能性曲线的切点e是社会福利水平最大化的点。这个e点被称为“限制条件下的最大满足点”，即在现有资源和技术水平条件下所能够达到的社会福利的最大满足点，这是能导致最大社会福利的生产和交换的唯一一点。而另外两个效用水平的最优水平组合点S、S′则达不到社会福利水平的最大化，因为它们所在的社会无差异曲线W₁比W₂要低。图中W₃的社会福利水平在目前的资源和技术水平条件下还达不到。

图8⁃8 社会无差异曲线（即社会福利函数）(www.xing528.com)

图8⁃9 最大社会福利

如果确实存在上述所说的所谓社会福利函数，那么，可以在无穷多个帕累托最优状态中进一步确定哪些是能够使社会福利最大化的经济状态。如果能够做到这点，则资源配置的问题就可以彻底解决了。

可见，彻底解决资源配置问题的关键在于社会福利函数。社会福利函数到底存在与否？换句话说，能否从不同个人的偏好当中合理地形成所谓的社会偏好？可惜的是，美国经济学家肯尼斯·约瑟夫·阿罗（K.J.Arrow）在1951年时，在相当宽松的条件下证明了这是不可能的，这就是有名的“不可能性定理”。