函数型数据的综合评价定义

一、函数型数据分析的一般过程

Ramsay、Dalzell（1991）指出函数型数据分析是对函数型数据的收集的统计技术。与传统统计学的数据单元为数或向量相区别，FDA的数据单元为曲线或图像，本书主要讨论基于曲线形式的分析。很多多元统计方法可以直接应用到函数型数据的情形，但是函数型数据分析可以解释观测函数的更多信息。

FDA的第一步是从函数型数据的光滑开始。因为实际中我们遇到的函数型数据是离散化的取样，故假设基本模型形式为：

j为观测点的个数，ξ（t）为误差项。一般我们假设其满足经典的回归假设（独立同分布，均值为0，方差为σ2）。

统计中很多光滑技术可以使用，这里我们选用B样条基函数作为代表（常见的基函数有：傅立叶基、B样条基、Bernstein基、多项式基、指数基、Wavelet基等）。令｛øk｝为取自Hilbert空间L2的一组基函数，则存在唯一一组系数向量cT=（c1，c2，…）∈l2，使得

这里L2为二次可积函数空间，l2为与之对应的序列空间，｛x（t），t∈T｝i=1，2，…，m，为定义于T上的随机过程，于是观测曲线可以看作随机过程的一个实现。实际中，xi（t）只看作是有限时间区间上的观测，故

解最小化问题（2-4）得

或采用最小化惩罚残差平方和（Penalized Residual Sum of Squares）

其中，第二项为粗糙惩罚项（Roughness Penalty），用来衡量函数xi（t）的平滑程度；m为导数的阶数，通常取2就可以满足一般问题的要求；λ是平滑参数。在基函数的框架下，λ为一个参数向量，其数值可通过留一交叉验证（Leave One Out Cross-Validation，LOO-CV）法则选择：

或留一广义交叉验证（Leave One Out Generalized Cross-Validation LOO-GCV）

二、函数型数据下综合评价的定义

表2-1　多指标函数型数据表^[1]

定义2-1：由多指标函数型数据表支持的综合评价问题，称为函数型数据综合评价^[2]，一般表现形式为：

这里yi（t）为si在时间区间T内的综合评价函数，当T为离散点的集时，即为动态综合评价；当T退化为一点时，即为静态综合评价。实际问题中，权数的获得及评级集成函数的选择都是主要研究问题，本书将在后面的章节致力于讨论这些问题。

关于函数型数据综合评价可以这样理解：一种是评价的指标数据是函数型数据，但是权数为离散取值（可能一段时间内权数都是不变的即“时期权”，可能是逐段时间变化即“时点权”，此时权数与时间相关，但取值有限个）；一种是指标数据为函数型数据，且各指标权数是动态平衡的，是关于时间的函数即此时权数也是函数型数据；还有一种就是指标数据，权数均是离散的动态形式，将研究对象进行连续的评价后，最后评价结果形成一个“序列”。该序列随着时间的积累具有函数性，形成函数型的评价结果。(www.xing528.com)