附加零与极点的作用：零点在极点左侧

仍然观察图5－11， 将图5－11 （a） 与图5－11 （h）、 图5－11 （i） 进行比较， 可以认为图5－11 （h） 和图5－11 （i） 是在图5－11 （a） 的基础上通过增加一对满足｜f ｜＜｜e ｜的开环零点e 和开环极点f 得到的。 与5.3.3 节中的情况相反， 位于复平面中的两条根轨迹在附加零、 极点的作用下略微右移。 需要指明， 当这对附加开环零、 极点之间的距离比这对附加开环零、 极点到其他开环零、 极点的距离小得多时， 除了在附加零、 极点附近的区域内，其他部分的根轨迹不会变化很大。 若选取一对距离较近的附加开环零、 极点（通常离原点很近）， 它们对闭环主导极点位置的影响不会很大， 因此不会严重降低闭环系统的动态性能。 但当控制器参数选取得恰当时， 控制器通过其零点与极点的比值来增加系统的开环增益， 进而减小稳态误差， 提高系统的稳态性能， 这一点在例5－10 中得以体现。 正是因为要获取较大的比值， 所以附加开环零、 极点通常选取得离原点很近。 上面给出的便是滞后校正网络的工作原理， 由于可将比例－积分（PI） 控制器视为极点位于原点上的一类特殊滞后校正网络， 因此上面的讨论同样适用于PI 控制器。

结论： 选取适当的一对附加开环零、 极点（零点在极点左侧） 能够提升系统的稳态性能。

【例5－9】　卫星姿态控制系统方框图如图5－1 所示， 其中卫星的姿态动力学可由双积分环节来形容， 即

（1） 若使用比例控制器， 即Gc（s） ＝KP， 则绘制出当KP 变化时闭环系统的根轨迹。

（2） 若使用理想的PD 控制器， 即Gc（s） ＝KP ＋KDs， 并选取KP ＝KD， 则绘制出控制器参数变化时闭环系统的根轨迹。

（3） 物理系统中并不存在单纯的微分环节， 在实际中通常将PD 控制器近似描述为

定义K∗＝KP ＋pKD 以及z ＝pKP／K∗， 则控制器传递函数可变形为

若z ＝1， p ＝12， 则绘制出当K∗变化时闭环系统的根轨迹。

（4） 分析上述三问中附加零、 极点对闭环系统根轨迹的影响。

解：

（1） 此时KP 即为根轨迹增益K∗。 根据绘制根轨迹的基本法则， 可绘制出图5－17 所示的根轨迹。

图5－17　使用比例控制器的卫星姿态控制系统的根轨迹

此时， 根轨迹位于虚轴上。 对于任何的KP 而言， 系统的动态过程均为等幅振荡， 单纯使用比例控制器是不可行的。

（2） 不妨记KP ＝KD ＝K∗， 系统的开环传递函数为

根据根轨迹的绘制法则， 绘制出图5－18 所示的根轨迹。

图5－18　使用PD 控制器的卫星姿态控制系统的根轨迹

（3） 此时控制系统的开环传递函数为

根据绘制根轨迹的基本法则， 可绘制出图5－19 所示的根轨迹。

图5－19　使用超前校正网络的卫星姿态控制系统的根轨迹

（4） 分析如下。

理想的PD 控制器相当于为开环传递函数引入了一个位于负实轴上的附加零点， 比较图5－17 和图5－18 可知， 在附加零点的作用下， 根轨迹向平面的左半部弯曲， 系统由临界稳定变为稳定。

实际中的PD 控制器（超前校正网络） 与理想的PD 控制器相比， 相当于增加了一个开环极点。 附加开环极点倾向于使根轨迹移向右半复平面， 比较图5－18 和图5－11 可验证这一点： 增加了开环极点后， 原本位于负实轴上的根轨迹沿着±90°的渐近线进入复平面。 但在本例中， 在附加开环极点的作用下， 系统仍然是稳定的。

比较图5－17 和图5－19， 超前校正网络相当于在原始系统的基础上增加了一对开环零、 极点（零点在极点的右侧）， 这使闭环系统在复平面内的两条根轨迹朝着稳定区域移动， 原本临界稳定的系统变得稳定。 在图5－19 中， 当两条根轨迹经过分离点s ＝－5.19 进入复平面后， 第三个极点已经十分接近附加开环零点。 由于附加开环零点即为闭环零点， 并且该零点并不十分靠近虚轴， 因此第三个极点对闭环系统性能的影响可以忽略， 复平面内的两个共轭极点为主导极点。 显然， 与原系统相比， 增加超前校正网络后的闭环主导极点能够使系统取得更好的动态性能。(www.xing528.com)

在引入超前校正网络的情况下， 根据图5－19 取K∗＝76 （开环增益为K ＝6.33）， 对应的主导极点为－5.40 ±j5.81。 在使用纯比例控制时， 为了与引入超前校正网络时的开环增益一致， 取Kp ＝6.33。 绘制出两种情况下的阶跃响应曲线， 如图5－20 所示。 显然， 超前校正网络的引入使系统的动态性能得到了大幅的提升。

【例5－10】　控制系统的开环传递函数为

（1） 绘制闭环系统的根轨迹草图， 确定当闭环主导极点具有阻尼比ζ ＝0.707 时的K∗值， 计算此时的主导极点、 对应的无阻尼振荡频率以及闭环系统在斜坡输入作用下的静态误差系数。

（2） 为了在不过多改变原系统动态性能的前提下提升其稳态性能， 现引入滞后校正网络， 即在原开环传递函数的基础上添加一对零、 极点， 其中零点为－0.05， 极点为－0.005。绘制闭环系统的根轨迹草图， 确定使闭环主导极点具有阻尼比ζ ＝0.707 时的K∗值， 计算此时的主导极点、 对应的无阻尼振荡频率以及闭环系统在斜坡输入作用下的静态误差系数。

（3） 对比前两问中的主导极点、 无阻尼振荡频率以及闭环系统的速度误差系数， 并结合5.3.4 节中的讨论进行分析。

解：

图5－21　校正前后闭环系统的根轨迹

将开环传递函数写为开环增益的形式， 有

开环增益即为K ＝0.5K∗， 闭环系统在斜坡输入作用下的静态误差系数为

（2） 根据题意， 此时的开环传递函数为

开环增益即为K ＝5K∗， 闭环系统在斜坡输入作用下的静态误差系数为

显然， 引入滞后校正后， 在闭环主导极点位置没有发生较大变化的条件下， 系统的稳态性能得到了大幅的提升， 速度稳态误差约为校正前的10%。

（3） 分析如下。

附加零、 极点之间的距离远小于它们到其他零、 极点的距离， 因此它们对原系统根轨迹的影响很小。 图5－21 （a） 和图5－21 （b） 使用了相同的比例尺， 比较两者可以发现， 除了在附加零、 极点周围出现类似圆形的根轨迹分支以及分离点之外， 其他部分的根轨迹在校正前后几乎没有发生改变。 K∗值和主导极点的选取基于对系统动态性能的要求， 校正前后的系统主导极点位置相近， 对应的K∗值也十分相似。 然而， 附加零、 极点距离原点很近，能够提供较大的比值， 使得静态误差系数与根轨迹增益的关系由Kv ＝0.5K∗变为Kv ＝5K∗，这体现了滞后校正会使系统稳态性能大幅提升。

需要说明的是， 在进行校正后， 尽管主导极点的阻尼系数与校正前相同， 但无阻尼振荡频率由0.54rad／s 减小为0.51rad／s， 这说明滞后校正后的系统动态过程比原系统略微迟缓一些。 此外， s4 所产生的小幅值、 慢衰减的暂态分量也使闭环系统的动态过程更为缓慢。 如果这种负面影响在可接受的范围内， 那么我们可以认为滞后校正为闭环系统稳态性能不理想的问题提供了一种较好的解决方法。

为了验证上述分析， 我们绘制出原系统和经过校正的系统的单位斜坡响应曲线以及单位阶跃响应曲线， 如图5－22 所示。

图5－22　校正前后系统的单位斜坡响应曲线和单位阶跃响应曲线

由图5－22 （a） 可知， 与原系统相比， 滞后校正后的系统稳态误差很小， 稳态性能得到了大幅的提高。 然而， 图5－22 （b） 说明校正后的系统与原系统相比， 超调更大、 响应更慢， 并且可以明显观察到小幅值“长尾” 分量的存在。 若滞后校正对系统动态性能的负面影响是无法接受的， 考虑到超前校正对系统动态性能的改善能力， 则可以进一步设计超前－滞后校正网络， 即PID 控制器。 限于篇幅， 这里不再展开。

下面给出例5－10 的MATLAB 程序：