附加零点如何影响二阶系统响应

假设附加零点的二阶系统的闭环传递函数为

附加的零点为z=-a。先讨论a＞0的情况。

1.a＞0的情况

若原二阶系统的单位阶跃响应像函数为C1（s），则附加零点的二阶系统的阶跃响应为

即系统的输出由两部分组成：原系统响应与原二阶系统响应的微分的1/a倍。当a很大时，零点z=-a远离虚轴，则附加零点的典型二阶系统的阶跃响应近似为c1（t），即附加零点对系统的影响可以忽略；当a比较小时，原二阶系统响应的微分量c2（t）将对系统输出产生影响，不能忽略。一般情况下，c2（t）的影响是使c（t）比c1（t）响应迅速且具有较大的超调量。比如，取ζ=0.35、ωn=2、a=2时，附加零点的二阶系统的闭环传递函数为

对应的c（t）、c1（t）和c2（t）的曲线如图3.7.3所示。

因此，零点对系统瞬态特性的影响，主要表现在所叠加的微分分量上，原二阶系统的阶跃响应在初始段的微分量为正，该量叠加在原二阶系统的第一个超调附近，因此当a较小（零点接近虚轴）时，系统的超调量会变大，振荡加剧，响应加快。如果在变化缓慢的系统中，精心引入合适的零点，则可有效地改变系统的瞬态响应。a越小，即零点越接近虚轴，原二阶系统响应的微分量越大，对系统的输出影响越大，如图3.7.4所示。

图3.7.3　附加零点的二阶系统的单位阶跃响应(www.xing528.com)

图3.7.4　附加零点离虚轴远近对系统阶跃响应的影响

2.a＜0的情况

如果a为负的，即a＜0，则附加零点在右半平面，附加零点的典型二阶系统的阶跃响应形式上仍为

但阶跃响应的初始段微分量变为负的，如果c2（t）的绝对值大于c1（t），则系统在初始段的响应将与原二阶系统初始段的响应方向相反。取ζ=0.35、ωn=2、a=-2时，系统闭环传递函数为

该系统的单位阶跃响应曲线如图3.7.5中的c（t）所示，c1（t）为原二阶系统的响应，c2（t）=。尽管终值是正的，但是系统的初始段响应偏向负的方向，具有这种现象的系统被称为非最小相位系统。非最小相位系统在控制工程中相当普遍，例如飞机的高度控制、柔性结构的姿态控制、蒸汽发电厂锅炉的液位控制系统等。因此，对非最小相位系统进行分析和研究具有重要的实际意义。

图3.7.5　附加负零点的二阶系统的单位阶跃响应

当一个系统为非最小相位系统时，如果给它向右转向的指令，它开始时会先向左转，然后再向右转。