编码孔径光谱层析成像的模型分析

CACCT成像模型如图6－1所示。为简便起见，此处将CA与FPA之间的成像放大倍率设为1，但是通过中继光学器件使二者具有不同的空间分辨率。光谱图像f（x，y，λ）经过准直光学器件后被直视棱镜（Direct－Vision Prism，DVP）色散。DVP绕光轴旋转时，便在x－y平面上定义了不同的色散角度φ。波长为λ的偏转光学被成像在CA平面上，其空间偏移量为

式中，δx＝k（λ－λc）cosφ；δy＝k（λ－λc）sinφ；λc为通过DVP后未偏转的中心波长；k为DVP的色散系数。

数据立方体的色散及投影几何关系如图6－2所示。可见，数据立方体中的每一点（x，y，λ）被平移到（x＋δx，y＋δy，λ）处，从而构成色散线；而相应的投影线由角度（α，φ）确定，是色散线和投影线偏离λ轴的角度。

图6－1　CACCT成像模型

注：一个固定的编码孔径模板起到空间—光谱三维调制作用，且由于DVP的旋转，各角度下的调制参数不同。

图6－2　CACCT投影模型

注：色散线上的每一个点均被空间平移到（x′，y′），并最终被探测器（n，m）所积分。

CA之后的光谱密度分布为

式中，t（x，y）为CA的空间透过率函数。定义如下依赖于（λ，φ）的透过率函数。

可以看出，在每个DVP旋转角度下，原始光谱图像f（x，y，λ）被模板所调制t′φ（x，y，λ）。

假设CA的像素尺寸与FPA像素尺寸同为Δ，即

则中继到探测器平面上的光谱图像f′（x，y，λ）将在一个Δ×Δ×Λ大小的区域上被探测器积分。在角度φ下的测量数据为(www.xing528.com)

由积分中值定理，式（6－5）可以近似为

式（6－7）蕴含着一个假设：式（6－6）所代表的光谱维积分在一个像素的空间范围内变化很小。由式（6－3），式（6－5）可写作

略去常量因子并在式（6－8）两边取关于（m，n）的傅里叶变换，有

式中，＾为函数的傅里叶变换；∗为卷积运算；下标uv和uvw是FT中的频率变量。式（6－9）是傅里叶切片定理的调制版本：CACCT对原始信号和模板的频谱卷积进行频域采样，其采样点位于一个过原点的平面上，其第三维频域变量为

式（6－9）的表达方式有利于对不同的成像体制展开感知效率分析（为说明CACCT相对于单色散器件SD－CASSI［169］、双色散器DD－CASSI［128］及CTHIS的感知优势，图6－3展示了四种方案在三维傅里叶空间中的采样策略；所示空间切片为竖直平面v＝0）。此时，傅里叶切片平面对应图中过原点的直线。由于色散与探测器的积分过程对应Radon线变换，各方案中FPA测量数据均包含式（6－10）所定义的平面上的频域信息。它们的区别在于所用的透过滤波器和投影方向角不同：前者决定了频域卷积所涉及的空间大小；后者决定了采样平面的朝向。

假定原始数据立方体的大小为A×B×Λ，并且所用随机CA模板为二值分布，t＝｛0.5，1｝，t＝1的概率为0.5，则这样一个CA的调制传递函数（Modulation Transfer Func⁃tion，MTF）与单个Δ×Δ大小的针孔孔径的MTF非常相似，类似于sinc函数，但是在零频率处有一个尖峰［186］。尽管sinc函数是无限长的，但是零频率处的尖峰使得CA的低频能量占主导地位。因此，无论从MTF的FWHM（FullWidth at Halt Maximum）指标，还是从1／2指标来看，CA的等效带宽远小于FPA采样频率1／Δ。

SD－CASSI（图6－3（a））用一个由式（6－4）所定义的单个空间滤波器来调制所有谱段的图像，而所用光谱维滤波器为rect（（λ－λc）／Λ）。因此其等效光谱带宽为Bw∝Λ－1。随着CA扫过切片平面φ＝π，有更多的频域信息因卷积过程而被获取，但是留下了高频区域的“丢失角”未被感知。

DD－CASSI（图6－3（b））和CACCT（图6－3（d））均使用三维滤波器，因此在光谱维度上具有更高的等效带宽Bw，与空间带宽Bu具有可比性。然而，CACCT具有改变切片朝向的优势，通过DVP的旋转能够对原始傅里叶谱完成全覆盖感知。相比之下，CASSI仅能通过改变CA编码，用多次曝光测量来降低重建问题的欠定性，但是在“丢失”角区域的频域信息始终无法获取。

图6－3　频域采样策略比较

（a）SD－CASSI；（b）DD－CASSI；（c）CTHIS；（d）CACCT

CTHIS（图6－3（c））相当于仅采用了一个普通视场光阑，因此仅能获得很少的频域感知拓展性能。