黑体辐射与其定律的关系

照射到物体上的辐射能量一部分被物体吸收了，另一部分被物体反射和透射。假设外界投射到物体表面上的总能量为Q，其中一部分能量Q1在进入表面后被物体吸收，剩下的能量被物体反射或穿透物体。这一物体对投入辐射的吸收率为：

显然，0≤α≤1。吸收率α不仅取决于材料，还和投射到物体上的辐射能量的光谱分布有关。我们将物体对某一波长λ辐射能的吸收率αλ称为单色吸收率。如果物体在任何温度下对于任何波长的辐射能量的吸收率都等于1，也就是说，αλ=1，那么这个物体便被称为绝对黑体，简称黑体。黑体能够吸收向它辐射的全部能量。相同温度下，黑体向外辐射的能量最大。

一般说来，物体对不同波长辐射能的单色吸收率是不相同的。如果某一物体的单色吸收率与投射到该物体上的辐射能的波长λ无关，也就是说，αλ=α是一个（小于1的）常数，那么这个物体被称为灰体。黑体和灰体都是理想化的物体，实际物体既不是绝对黑体，也不是灰体，被称为选择性辐射体。

绝对黑体是标准热辐射源的理想模型。常见的热辐射源（例如太阳、白炽灯等）都可以用黑体辐射规律来近似描述。绝对黑体的特性可以用四个基本定律来描述，称为黑体辐射基本理论，包括：

1.普朗克黑体辐射方程：黑体的光谱辐射强度为

其中，h=6.626×10-34 J s为普朗克常数，c=3×108 m/s为光速，k=1.381×10-23 J/K为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。对于理想Lam bert表面，绝对黑体的光谱亮度为（参见式(3.17)）：

2.瑞利-琴斯定律：当波长较长（λ≫hc/(kT)）时，

3.斯蒂芬-玻尔兹曼方程：黑体辐射的总辐射强度为

其中σ=2π5 k4/(15c2 h3)被称为斯蒂芬-玻尔兹曼常数。

4.维恩位移定律：首先，定义辐射峰值波长

图4.5　绝对黑体亮度的光谱分布曲线。当温度较低时（例如低于600摄氏度），光谱亮度的主成分（即：峰值波长附近的区间）位于红外区域，只有当温度足够高时（例如
高于3000摄氏度），光谱亮度的主成分才位于可见光区域。

也就是说，黑体辐射强度的光谱峰值所对应的波长。实验表明：辐射峰值波长λm ax与绝对温度T的乘积是一个常数2.898 m·K，也就是说，(www.xing528.com)

图4.5中给出了：根据普朗克方程画出的绝对黑体光谱亮度的分布曲线，以及根据维恩位移定律画出的辐射峰值波长随绝对温度的变化曲线。可以清晰地看到：当温度较低时（例如低于600摄氏度），光谱亮度的主成分（即：峰值波长附近的区间）位于红外区域，只有当温度足够高时（例如高于3000摄氏度），光谱亮度的主成分才位于可见光区域。这与我们的常识相符：随着温度的升高，火焰逐渐由红变黄，再变为蓝色！这在天文观测中是非常有用的，我们可以依据这一原理来分析一些天体表面热气体的温度^[3]。

图4.6　黑体辐射四大定理之间的关系。瑞利-琴斯定律和维恩位移定律源自实验观测结果，普朗克根据瑞利-琴斯定律和维恩位移定律找到了（与上述两个定律结论相匹配的）普朗克方程。对普朗克方程中的波长λ做积分，就可以得到斯蒂芬-玻尔兹曼方程。

通过斯蒂芬-玻尔兹曼方程，我们理解了红外成像背后的物理原理：总辐射能量与绝对温度的四次方成正比，因此，可以有效地对不同温度的物体加以识别。但是，到目前为止，我们并没有看见瑞利-琴斯定律的具体应用。我们可能会觉得：瑞利-琴斯定律和维恩位移定律是“多余的”，因为直接通过普朗克方程(4.6)，就可以非常容易地得出这两个定律。事实上，是先有了瑞利-琴斯定律和维恩位移定律（源自实验观测结果），然后，普朗克根据这两个定律，才“找到”了（与上述两个定律结论相匹配的）普朗克方程。最后，通过对普朗克方程中的波长λ做积分，所得到的斯蒂芬-玻尔兹曼方程奠定了红外成像（热成像）的理论基础。

图4.6中给出了黑体辐射四大定理之间的关系。在图中给出的两个过程中，过程(1)有很大的难度，我们将其留作一个思考题；过程(2)要容易很多，具体的推导过程如下：

通过Parseval定理，我们可以求得：

在习题4.3中，我们详细分析了式(4.21)的计算过程。事实上，当我们做到式(4.15)时，就已经能够得出斯蒂芬-玻尔兹曼方程的结论了，只要我们能够意识到：式(4.15)中的积分结果是一个（不含任何参数的）常数。我们可以通过数值方法（或者直接查找积分表）来计算式(4.15)中的定积分，也就是说，

由此，直接通过式(4.15)就可以得出结论：总辐射量E(T)与绝对温度T的四次方成正比。式(4.15)后面的分析用到了很多的数学技巧，我曾经花了数周的时间来给出相应的分析和推导过程，之所以将这些内容保留在书中，并不是为了展示数学技巧^[4]，而是为了复习Fou rier级数（及其特殊形式余弦级数）的相关性质（参见习题4.3中的分析）。对于学习后续章节（例如第9章）中的相关内容，这些基础知识和思想是非常有用的！在习题4.2中，我们分析了图4.6中过程(1)的“逆过程”，也就是说，根据普朗克方程，推导出瑞利-琴斯定律和维恩位移定律。较之于过程(1)，这个问题要相对简单得多。

对于灰体，普朗克方程相应地变为了：

斯蒂芬-玻尔兹曼方程的结论仍然成立，只是比例系数变成了α×σ。

图4.7　对夜空中飞机的红外成像结果（已脱密）。较之于可见光图像，红外图像非常模糊，图像中的物体区域没有清晰的边缘。