模糊集的隶属函数及查德表示法

1.模糊集的定义

给定论域U上的一个模糊集是指：对任何u∈U，都指定了一个数［0，1]与之对应，它叫作u对的隶属度，这意味着做出了一个映射，即

这个映射称为的隶属函数，其中的波浪号表示变量或运算中含有模糊信息，如图8-1所示。

模糊集完全由隶属函数刻画。特别地，当时，便蜕化为一个普通集合的特征函数，于是便蜕化为一个普通集合

因此，普通集合是模糊集的特殊情况，而模糊集是普通集合的扩展。

2.模糊集的表示方法

模糊集的表示方法一般有三种，设为论域U上的模糊集合，中的元素为｛a，b，c，d，e｝，各元素所对应的隶属函数为｛1，0.8，0.4，0.2，0｝。

（1）查德表示法

图8-1 模糊集合的隶属函数

这里右端项并非分式求和，它仅仅是一种记号，分母位置为论域U的元素，分子位置为相应元素的隶属度。

当U是连续论域时，给出如下记法：

式中的积分号不是通常积分的意思，而是表示各个元素与其隶属度对应关系的一个总括。(www.xing528.com)

（2）序偶表示法

其中每一元素是个序偶（x，y），第一个分量x表示论域中的元素，第二个分量y表示相应元素的隶属度。

（3）向量表示法

3.模糊集的基木运算

设为论域U上的两个模糊集合，则规定模糊集之间的包含、相等、并、交、余，运算如下：

模糊集的并、交、余运算的几何意义如图8-2所示。

图8-2 模糊集的基本运算

a）模糊集的并运算 b）模糊集的交运算 c）模糊集的余运算

这些运算具有幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、两极律、复原律和对偶律等性质。并和交的运算还有多种其他定义，但常用的是取大和取小运算，这是由于它们计算简单，而巨能为模糊决策分析提供合理的解释。

除了以上的并、交、余基本运算之外，模糊集还有许多其他运算，如模糊集的差、代数和、代数积、有界和、有界积、爱因斯坦积与和以及Hamacher积与和等。