定义1.1 给定两个实数集D 和M，若有一个对应法则f，使D 内每一个数x，都有唯一的一个数y∈M 与它相对应，则称f是定义在数集D 上的函数，y称为f 在x 点处的函数值，记为y=f（x）.
函数f 可表示为f：D →M，x →y.通常简单地表示为
y=f(x), x ∈D.
这时，x称为自变量，y称为因变量.D 称为函数f 的定义域，记作D（f）或Df.当自变量x 取遍D 的所有值时，对应的函数值f（x）的全体构成的集合称为函数f 的值域，记作R（f）或f（D）.
需要指出的是，严格地说，f 和f（x）的含义是不同的，f 表示从自变量x 到因变量y 的对应法则，而f（x）则表示与自变量x 对应的函数值.为了叙述方便，常常用f（x）（x ∈D）来表示函数.为了减少记号，也常用y=y（x）（x ∈D）表示函数，这时等号右边的y 表示对应法则，等号左边的y 表示与x 对应的函数值.
关于定义域，在实际问题中应根据问题的实际意义而具体确定.如果讨论的是纯数学问题，则使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合作为该函数的定义域，又称为函数的自然定义域.例如，函数
的（自然）定义域是{x||x|≥1}，即（-∞，-1]∪[1，+∞）.
在给定了一个函数f 的解析式后，若未说明其定义域D（f），则D（f）就是f 的自然定义域.
上述例子中表示函数的方法称为解析法或公式法，其优点在于便于理论推导和计算.此外，常用的方法还有表格法和图示法.
表格法是将自变量和因变量的取值对应列表，它的优点在于函数值容易查得，但对应数据不完全，不便于对函数的性态作进一步研究.
用图示法表示的函数也称为函数的图像或图形，优点是直观形象，一目了然，但不能进行精确的计算，也不便于理论推导.
本书表示函数的方法以公式法为主.
下面举几个函数的例子.
例1.1 绝对值函数
的定义域D=（-∞，+∞），值域R（f）=[0，+∞），它的图像如图1-1所示.
例1.2 函数
称为符号函数.它的定义域D =（- ∞，+ ∞），值域R（f）={-1，0，1}，它的图像如图1-2所示.(www.xing528.com)
例1.3 设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x 的整数部分，记作[x].例如，
图1-1
图1-2
将x 看作变量，则函数
y=[x]
称为取整函数.它的定义域D=（-∞，+∞），值域R（f）=Z，它的图像如图1-3所示，这个图形称为阶梯曲线.
从上面的例子可以看出，有些情况下一个函数不能用一个解析式表示.这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.
分段函数在实际中应用广泛，如个人所得税的收取办法，出租车记程收费等，均可用分段函数来表示.
例1.4 某市出租车按如下规定收费：当行驶不超过3km 时，一律收起步费10元；当行驶里程超过3km 时，按2元/km 计费；对超过10km 的部分，按3元/km 计费.试写出车费C 与行驶里程S 之间的函数关系.
解 设C=C（S）表示这个函数，其中S 的单位是km，C 的单位是元.
按上述规定，当0＜S≤3时，C=10；当3＜S ≤10时，C=10+2（S-3）=2S+4；当C＞10时，C=10+2（10-3）+3（S-10）=3S-6，以上函数关系可写为
图1-3
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