可逆系统：线性、移不变、因果、稳定的压缩器

如果系统对每一互不相同的输入激励，产生各不相同的唯一的输出响应，则称该系统是可逆系统。或者说根据系统输出响应可以唯一地确定输入激励。如果系统是可逆的，则可以构造一个逆系统与之对应，二者串接的结果能恢复出原输入激励x[n]，如图1.4.2所示，图中T^-1{·}表示T{·}的逆系统。

需要强调的是，上述各系统的性质是系统本身固有的特性，和输入激励x[n]无关。也就是说，如果存在符合要求的输入特例，而使系统对应的特性不存在，则系统也就不具备该对应的特性。

图1.4.2 系统与其逆系统

【例1.4.7】 讨论压缩器y[n]=x[Mn]（M是大于零的整数）的线性、移不变性、因果性、稳定性和可逆性。

解

1）线性。按给定条件有

y[n]=T{ax₁[n]+bx₂[n]}=ax₁[Mn]+bx₂[Mn]

故系统是线性的。

2）移不变性。设(www.xing528.com)

y₁[n]=T{x[n-n₀]}=x[Mn-n₀]

而

y[n-n₀]=x[M（n-n₀）]=x[Mn-Mn₀]≠y₁[n]

可见输入x[n]有一延时，它不对应输出有相应延时，故系统不是移不变的。

3）因果性。给定系统对M＞1，有y[1]=x[M]，即响应y[n]跟激励x[n]的未来值有关，故系统是非因果的。

4）稳定性。若输入x[n]有界，|x[n]≤B_x＜∞，则有

y[n]=|x[Mn]≤B_x＜∞

故系统是稳定的。

5）可逆性。若y₁[n]=T{x₁[n]}=x₁[Mn]，y₂[n]=T{x₂[n]}=x₂[Mn]，且x₁[Mn]=x₂[Mn]，即压缩后序列相等。由此并不能导出x₁[n]=x₂[n]，因为给定的条件只保证原序列在n=lM（l=0，±1，…）点相等，其他n≠lM时刻不一定相等，也就是多个输入可以对应相同的一个输出，因而系统是不可逆的。