信息光学理论与应用：线性空间不变系统的本征函数

如果函数f（x，y）满足条件：

式中，a为一复常数，则称f（x，y）为算符S{·}所表示的系统的本征函数（Eigen Function），a称为此本征函数的本征值（Eigen Value）。换言之，系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数与该输入函数之比为一个复常数。显然，一个LSI系统的本征函数，通过该系统时不改变其函数形式，而仅仅可能被衰减或放大，或产生相移，其变化量取决于相应的本征值。

前面曾提到线性系统的3种基元函数，即δ函数、复指数函数和余弦函数。可以证明，这些基元函数正是LSI系统的本征函数，它们都可以形式不变地通过线性空间不变系统。下面就来进一步验证这一结论。

设线性空间不变系统S{·}的传递函数为H（fx，fy），输入函数为f（x，y）。以下就3种基元函数分别进行讨论。

(1)

其频谱为

F(fx,fy)=F{f(x,y)}=δ(fx-f0x,fy-f0y)

这时，输出函数的频谱为

G(fx,fy)=H(fx,fy)F(fx,fy)

=H(f0x,f0y)δ(fx-f0x,fy-f0y)

于是，输出函数为

即

由此可见，复指数函数可以形式不变地通过线性空间不变系统，输出函数只是输入函数与一个复比例常数的乘积，所以复指数输入函数是LSI系统的本征函数，而相应的复比例常数H（f0x，f0y）则称为此本征函数的本征值。这个本征值函数正是LSI系统的传递函数H（fx，fy）。

(2)f(x,y)=δ(x-x0,y-y0)

其频谱为

F(fx,fy)=F{δ(x-x0,y-y0)}=e-i2π(fxx0+fyy0)

这时，输出函数的频谱为(www.xing528.com)

G(fx,fy)=H(fx,fy)F(fx,fy)=H(fx,fy)e-i2π(fxx0+fyy0)

而输出函数为

即

这表明脉冲响应函数在空域中描述了LSI系统的性态。这也是预料中的结果。

(3)f(x,y)=cos[2π(f0xx+f0yy)]

这种基元函数常用于非相干成像系统中（见第3章）。对于这种系统，其脉冲响应函数是实函数，它可以把一个实值输入变换为一个实值输出，且其傅里叶变换具有厄米特函数特性，即

令

则由式（1.9.19）有

即非相干系统传递函数的模是偶函数，其幅角是奇函数。下面来证明余弦函数就是这类系统的本征函数。

输入余弦函数的频谱为

这时，输出函数的频谱为

而输出函数为

将式（1.9.20）代入上式，得

即

上式说明，对于脉冲响应是实函数的LSI系统来说，余弦输入将产生同频率的余弦输出。但可能产生与频率有关的振幅衰减与相移，其大小取决于传递函数的模和幅角。因此，为了检验一个系统是否是LSI系统，只要输入一个余弦信号，考察其输出中是否包含其他频率成分。若除了输入频率的余弦信号之外，还包含其他频率的余弦信号，则该系统不是LSI系统。