小波变换之所以能够获得成功，主要来源于它的创新思想。其实小波变换的精髓就是两点——伸缩和平移。
为了能够更好地说明小波变换理论，先引入函数空间L1（R）和L2（R），R表示实数集。L1（R）是指在R范围内绝对可积函数所组成的函数空间，它的数学表达式为：
Fourier变换最早是定义在L1（R），后来才扩展到L2（R）。小波变换则是定义在L2（R）。
称ψa，b（t）为小波函数，简称为小波。
式（5-7）的Fourier变换如下：
设f（t）∈L2（R），则函数f（t）的小波变换定义如下：
从式（5-9）可以看出，函数f（t）的小波变换就是以函数簇ψa，b（t）为积分核进行积分变换。a为尺度参数，b为平移参数。对原始信号的伸缩就是对信号进行压缩和放大，平移是指小波函数在原始信号的时间轴上平行移动，如图5-1和图5-2所示。
图5-1 小波伸缩
图5-2 小波平移
小波变换的物理意义是用不同频率（多尺度）的小波函数作为窗口函数对信号f（t）进行平移扫描。这个过程类似于STFT，不过STFT中窗口函数是固定不变。Fourier变换是将信号分解成为一簇频率不同的正弦波叠加。小波变换是将信号分解成为一簇小波函数的叠加，整个函数簇都是由同一个母小波经过尺度和平移变化求得。小波变换就像一个可以改变焦距的照相机，如果想要拍摄的景物清晰一点，则需要增大镜头的放大倍数，这是以牺牲视野为代价。如果想要拍摄视野较宽的景物，则需要减小了放大倍数，这是以牺牲清晰度为代价。用Fourier变换这个镜头去观察波形时，它不能变焦，所有信号都只能用一种放大倍数去处理。而用小波变换这个镜头去观察波形时，它能够变焦，根据信号特点用不同的放大倍数去分析处理，具有变焦功能。
从上述分析中可知，小波基函数ψ（t）的作用相当重要。那么什么样的函数才能作为小波基函数ψ（t）？其实有很多函数都能够作为小波基函数使用，当然也不是任意函数都行，小波基函数ψ（t）必须要满足下面两个条件：
（1）在时域上应该具有紧支性、衰减快、局部化特性好的特点。(www.xing528.com)
如果能够满足上述两个条件的函数一定是一个能够迅速衰减的具有带通功能的振荡短波，如图5-3所示。
图5-3 迅速衰减的具有带通功能的振荡短波
工程中所采集的信号大都是不规则的波形，因此用小波这种不规则函数逼近真实信号比用平滑的正弦波函数逼近效果要好得多。
小波变换算法共分五个步骤：
（1）设定初始尺度参数a和平移参数b，根据a和b参数确定小波函数ψ（t），首先从时域窗最窄、频域窗最宽的小波函数开始，将ψ（t）与信号开始部分相比较。
（2）计算小波系数C，它表示两个波形数据的相似程度，系数C越大两者的相似程度越大。
（3）小波函数ψ（t）右移k，得到ψ（t-k），重复步骤（1）和（2），扫描完整个信号波形。
（4）调整尺度参数a，即对小波函数进行伸缩，如扩展一倍后得到
）。重新对信号进行扫描平移，重复步骤（1）～（3）。
（5）重复上述步骤，计算在所有小波尺度下的小波系数。
整个小波变换过程如图5-4所示。
图5-4 小波变换流程图
通过上述步骤可以知道，小波变换过程就是以小波基函数簇分别去分段“比较”信号。即将波形分成多段，比较小波与该段信号的相似程度。如果它们相似程度高，则小波变换的值（小波系数）越大。反之，小波变换的值（小波系数）越小。最后经过反复循环“比较”就可以得到一系列小波系数。这个比较过程的核心实现代码如表5-3所示。
表5-3 小波变换核心伪代码
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