小波（wavelet）——在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数。即：小波具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，在有限的时间范围内，它的平均值等于零。
（一）基本小波函数
小波变换把信号分解成由基本小波经过移位和缩放后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数，基本小波函数又称为母小波。小波函数一般应满足：
1.小波相容条件。也即小波函数连续可积，并具有性质。
2.函数直流分量为零。小波函数在t轴上取值有正有负，才能保证为零。
小波函数应有振荡性，而且是正负交替的波动。
部分基本小波波形如图7-23所示。
图7-23 部分基本小波图
（二）一维连续小波变换
对于给定的基本小波函数，信号f（x）的连续小波正反变换定义为：
其中
是由基本小波通过伸缩和平移后派生来的函数族
称为小波函数，数学表达式为：
式中，a为尺度因子，a＞0，实数；b为位移因子，实数。
a反应一个基本小波函数的宽度，a＞1，Ψ（x）被扩展，表示用伸展了的Ψ（x）去观察f（x）；a＜1，Ψ（x）被收缩，表示用收缩了的Ψ（x）去观察f（x）。
b是小波函数沿x轴的平移位置，或者说是小波的延迟或超前。
由此可见，小波变换结果得到的是信号不同部分在不同伸缩尺度上的一族小波系数Wf（a，b）。
（三）小波变换与带通滤波器
对于任意一个固定尺度的a，
是信号f（b）与尺度为a的反转小波的卷积。
可见，小波变换可以看成是原始信号与一组线性滤波器进行卷积的滤波运算，a的每个值定义了一个不同的带通滤波器的输出Wf（a，b），而所有的滤波器输出叠加在一起，组成了小波。
（四）离散小波变换的实现——Mallat算法
一种利用子带滤波器结构实现正交小波的构造方法和快速算法叫Mallat算法。
利用带通滤波器组将信道频带分割成若干个子频带（Subband），将子频带搬移至零频处进行子带取样，再对每一个子带用一个与其统计特性相适配的编码器进行图像数据压缩，这是子带编码的基本思想。
子带编码由于其本身具备的频带分解特性，非常适合于分辨率可分多级的视频编码，已被广泛应用于语音编码和视频信号压缩领域。
另外，子带编码还有以下优点：
第一，一个子带的编码噪声在解码后只局限于该子带内，不会扩散到其他子带。这样，即使有的子带信号较弱，也不会被其他子带的编码噪声所掩盖。(www.xing528.com)
第二，可以根据主观视觉特性，将有限的数码率在各个子带之间合理分配，有利于提高图像的主观质量。
第三，通过频带分解，各个子带的抽样频率可以成倍下降。
在子带编码系统中，关键技术是正确实现无失真子带的分解和复原。
一个一维2子带编码系统的框图如图7-24所示。
图7-24 一维2子带编码系统的框图
其中，HL（ω）和HU（ω）分别为低通分解滤波器和高通分解滤波器，HL'（ω）和HU'（ω）分别为低通重构滤波器和高通重构滤波器，↓表示取样频率下变换，↑表示取样频率上变换。
在编码端，由于2：1下变换，信号相当于在时间轴上压缩了一半，因此，频谱相应地在频率轴上扩展了一倍。由于事先已经把信号分为低频子带和高频子带，只要滤波器的滤波特性是理想的，两个子带信号就不会产生混叠干扰。如果不考虑由编码、传输、解码引起的信号失真，通过分解滤波器分解子带再由重构滤波器重构的信号应无失真。
一个二维子带分解系统的框图如图7-25所示。
图7-25 二维子带分解框图
其中，HL（ω）和HH（ω）分别为水平方向低通分解滤波器和高通分解滤波器。
可将二维图像分解为LL（水平低通、垂直低通）、LH（水平低通、垂直高通）、HL（水平高通、垂直低通）、HH（水平高通、垂直高通）四个面积相等的子图像，如图7-26所示。
图7-26 子图像
二维图像一级分解示意图如图7-27所示。
图7-27 一级分解示意图
二维图像多级分解示意图如图7-28所示。
图7-28 二维图像多级分解示意图
图7-28中，左上角图表示原始图像矩阵，右上角图表示一层分解的小波变换，左下角图表示将低频图像LL1小区域再分解的小波变换，右下角图表示将低频图像LL2小区域再分解的小波变换。
二维图像分解过程如图7-29所示。
图7-29 二维图像分解过程
图7-29的左图中，先作行变换后作列变换。右图中，行列变换同时进行。
二维图像三级分解如图7-30所示。
图7-30 二维图像三级分解
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