什么是“小波”？正如名字所暗示，小波（wavelet）就是“很小的波”，一类具有震荡性、能够快速衰减到零的函数。其数学上的定义为：
称满足上式的小波为基本小波。它具有以下特性：
（3）自相似性。每一个连续小波φa，b（t）与母小波φ（t）形状相似，连续小波之间形状也相似。连续小波是母小波的子代，具有无穷多。
小波分析需要选择合适的基本小波函数，不同的情况需要不同的小波函数。目前广泛使用的小波函数有Haar小波、Mexicanhat小波、Morlet小波、正交小波、样条小波等。
7.2.1.1 几种基本小波函数
（1）Haar小波。Haar 小波是1910 年由数学家A.Haar 提出的，它是最早用到的、最简单的具有紧支集的正交小波函数，其定义如下：
Haar小波是不连续的（图7.1），而且频域局部性差，在实际工程应用中受到很多限制，因此使用较少，但由于其结构简单，在理论研究中应用较多。
图7.1 Haar小波
图7.2 Mexicanhat小波
（2）Mexican hat小波。Mexican hat小波（常简写为Marr小波）的形状如草帽（图7.2），故又称此小波为墨西哥草帽小波，其函数形式为：
（3）Morlet小波。Morlet小波为一复数小波，其定义为：
（4）Meyer小波。Meyer小波是在频域上具有紧支集的正交小波，其函数频率域定义如下：
图7.3 Morlet小波
其中，ν（α）为辅助函数，根据不同情况采用不同的形式，如：
Meyer小波无穷次连续可微，具有无穷阶消失矩，并且关于1/2对称。但这种小波基本没有快速算法，因此实际应用中并不多见。
（5）Wave小波。Wave小波的函数表达式为：
由于Marr小波、Morlet小波、Meyer小波和Wave小波都不适合快速小波变换。下面介绍几种可快速计算小波系数的小波函数。
7.2.1.2 二次样条小波
记φ（t）为基本小波，其重构小波记为χ（t）。令连续实函数φ（t）满足：
由式（7.8）给出的φ（t）可以表示为：
式中：τ为抽样位移，调整τ使得φ（t）关于零点对称；H（ω）为2π周期的函数，且满足：
由式（7.9）有：
定义小波函数为：
式中：G（ω）为2π周期的函数。
由于χ（t）是φ（t）的重构小波，于是有：
这是构造二进小波函数及其对应的重构二进小波的通用关系。设θ（t）为样条函数，令φ（t）＝dθ（t）/dt。样条函数是低通函数，其一阶导数必定是带通函数。根据Fourier变换定理，它们的频率特性在ω＝0 处必有零点，则φ（t）满足基本小波的容许条件。选择H（ω），使φ（t）反对称且具有紧支集，则有：
同时有：
当2n＋1＝3、抽样位移τ＝1/2时，φ（t）为紧支集的、关于零点反对称的二次样条小波，θ（t）为三次样条函数。二次样条小波的冲激响应见表7.1，二次样条小波及三次样条函数如图7.4、图7.5 所示。
表7.1 二次样条小波的冲激响应
图7.4 紧支二次样条小波
图7.5 三次样条小波函数
7.2.1.3 Doubechies紧支正交小波
Doubechies小波是法国学者Doubechies根据紧支集的正交小波构造的一类以她命名的小波（简记为DbN）。
Doubechies在构造紧支集且具有高消失矩的正交小波时，假定了多项式R≡0，于是有：
将m＝2，3，4，…，10 带入上式可以导出DbN （N＝2，3，4，…，10）小波的低通滤波器系数。有了滤波器系数h（k）就可以计算出对应的紧支尺度函数、小波函数和高通滤波器系数g（k）。当N＝1 时，Db1 就是Harr小波。图7.6 绘制了Db2～Db10 的尺度函数和小波函数的波形变化过程。表7.2 给出了N＝2～10 的Doubechies小波滤波器h（k）。
图7.6 Db2～Db10尺度函数和小波函数波形变化
表7.2 Doubechies紧支正交小波低通滤波器系数
7.2.1.4 基于B样条的双正交小波
Doubechies正交小波不具有对称性（Haar小波除外），这对用它检测奇异信号突变点会带来极大不便；同时，由于小波不对称，小波变换模极大值点会发生位移，而对称小波函数就不会发生这种情况。基于B样条的双正交小波就是对称的小波函数。(www.xing528.com)
N 阶B样条记作φN（t），它是一个分段的N 次多项式。一阶B样条定义为：
二阶B样条定义为：
三阶B样条定义为：
N 阶B样条的Fourier变换为：
上式中，N 为偶数时，τ＝0；N 为奇数时，τ＝1；［N/2］表示不超过N/2 的最大整数。根据正交小波的构造方法有：
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