二维奇异性功率谱分析的算法步骤

本节主要在一维奇异性功率谱分析的基础上引入了二维奇异性功率谱（2DSPS），给出了2D-SPS的概念流程框图，并重点对2D奇异性指数估计和2D的奇异性功率谱进行了分析，给出2D-SPS的估计方法，具体算法步骤如下。

（1）读取SAR图片，计算其局部奇异性指数图中每一点的值α（m，n）。

（2）根据3.3.2节所示方法，计算SAR图像的奇异性功率谱P（α）。

（3）结合步骤（1）（2）中的结果，提取检测特征向量M（α）、Λ（α）和Φ（α）。

（4）将纯海杂波和含舰船目标的SAR图片的特征向量分别输入ROC检测器进行检测，得到最终仿真结果，并给出最佳检测阈值。

上述算法具体包括SPS和2D-SPS构建、二维局部奇异性指数估计和二维SPS估计。

1.从奇异性功率谱到2D-SPS

奇异性功率谱从功率分布的角度考虑奇异性指数的分布情况，可用于表征分形体在奇异域内功率分布，一维时间序列的SPS理论推导可参考文献［3］。对于一维连续信号x（t），其奇异性功率谱密度公式为［3］

式中，Nα=＃｛xαm（n）｝，代表各个奇异性值范围内的离散序列点数。

对于二维图像信号，参考一维SPS类似的分析思路，图9.15为2D-SPS估计的示意图。首先根据输入的原始图像估计二维奇异性指数（2D-Holder指数），然后根据奇异性指数对原始图像进行划分，得到奇异性子集分解结果，最后对每个奇异性子集统计计算信号功率，得到奇异性功率谱。

图9.15　二维奇异性功率谱估计的示意图

2.二维局部奇异性指数

奇异性指数定量地描述了信号的奇异性程度，通常使用的奇异性指数为Holder指数。对于单分形而言，Holder奇异性指数（H值）为一个确定常数，且对于一维信号，分形维数D=2-H；对于随机多重分形信号，可通过局部奇异性指数估计获得信号的局部规则性特征。本文正是通过2D局部Holder指数来定量描述SAR图像的局部奇异特征。对于SAR图像z（m，n）上的每一点，定义其局部奇异性指数为α（m，n）。对于图像中的各点，分别分析包含该点的不同尺度区域的测度，研究测度随尺度的双对数变化曲线，对其进行线性拟合，并估计其斜率，可得出该点对应的局部奇异性指数。

上述估计过程涉及局部尺度区域选择范围、测度计算方法、图像边缘数据处理等问题。如测度计算时，可使用局部最大值测度、平均值测度、概率测度等。不同尺度区域选择代表了不同的奇异性局部特征表征能力，尺度区域范围越大，计算局部奇异性指数的平滑性越好；相反，尺度区域范围越小，则对局部的细节特征提取得越好，但过小的尺度区域会导致局部奇异性指数估计的突变。本文将采用最大值测度和尺度为4的正方形区域进行分析。2D-Holder指数的具体计算步骤如下。

（1）对于给定的SAR图像z（m，n），1≤m≤M，1≤n≤N，依次选取点（m，n），在其周围选取正方形区域εi×εi，εi=2i-1，i=1，2，3，4。

（5）遍历所有的点，得到奇异性图α（m，n），1≤m≤M，1≤n≤N。

通过2D-Holder指数计算，可以生成一副奇异性指数图α-Image，基于原始图像和α-Image做统计分析，将具有相同局部奇异性指数的点集组合成一个虚拟的奇异性子集，基于该奇异性子集，可估计相应二维奇异性功率谱。(www.xing528.com)

3.二维奇异性功率谱估计

根据一维离散条件下信号的SPS谱估计方法，结合2D-Holder指数估计和奇异性子集，给出离散条件下二维信号的奇异性功率谱2D-SPS估计步骤如下。

（1）由2.2小节计算出SAR图像每一点（m，n）的局部奇异性指数α（m，n）。

（2）分别求出SAR图像奇异性指数的最大值αmax和最小值αmin为αmax=max［α（m，n）（m，n）∈Ω］，αmin=min［α（m，n）（m，n）∈Ω］，其中Ω为计算得到的全部的局部奇异性指数的集合。

（3）将步骤（2）中计算得到的奇异性指数的最大值αmax及最小值αmin构成的［αmin，αmax］平均分为N个等间隔小区间，αi代表第i个区间的左边界值。

（4）二维奇异性功率谱（2D-SPS）定义为

式中，Nαi表示整个奇异性指数集合Ω中落在［αi，αi+1］区间中的总数。

2D-SPS描述了图像在奇异性域的功率分布特征，例如，在α≈1时，P（α）表征了图像在目标边缘上的功率分布；当α≈2时P（α）表征了图像均匀纹理的功率分布；当α≈1.5时，P（α）表征了图像突变点的功率分布情况。对于海上SAR图像而言，不同类型目标的存在将使得2D-SPS谱分布呈现不同的特征，下面将给出一种基于2D-SPS谱分析和特征提取的SAR舰船目标检测方法。