探究互相关奇异性功率谱分布的理论

1.互相关奇异性功率谱的概念

从信号分析的角度而言，两个信号之间的关系可以通过相关函数来进行描述。最基本相关分析即为数学上的互自相关函数，它通过两个时间函数的乘积在时间域的积分进行描述，如果两个信号为平稳的，那么互相关函数只与他们的相关延迟时间有关。互相关函数可以描述为延迟时间的函数，互相关函数的傅里叶变换即为两个信号的互相关功率谱，它从功率的角度描述了两个信号的相关性。

从多重分形的角度而言，两个信号如果具有多重分形域的相关性，那么通过MFCCA方法，可以研究他们在多重分形域和分维上的分形特征。MFCCA拓展了时间互相关性分析的思路，但是无法体现两个信号在功率谱的相关特征。研究两个信号在奇异域具有的功率相关性则是基于奇异性功率谱和传统互相关功率谱分析的思想。本节提出了CSPS分析理论，即两个信号的互相关性在奇异性功率谱上的体现，对于给定的奇异性指数，CPSP体现了两个信号的互相关功率值。与互相关函数（crosscorrelation function，CCF）、CCPS和MFCCA分别在时域、频率和维数上描述相关性的思想不同，CPSP体现了基于奇异性指数的功率相关性。图6.25为时域（CF和CCF）、频域（SCF和CPS）和奇异域（MFCCA、SPS和CSPS）的相关分析比较，每一种相关分析都包含两种形式，分别为自相关（CF、SCF、MFS和SPS）和互相关（CCF、CPS、MFCCA和CSPS）。

图6.25　四种相关分析的关系表述

2.CSPS的理论推导

1）瞬时奇异性指数函数

2）奇异性子集分解

式中，q=1，2，…，Nα。x（αq）表示时间序列｛x（i）｝中具有瞬时奇异性指数值为αq的所有时刻的集合，x（αq）中点集的数量与具体的计算有关。显然，如果遍历所有的奇异性指数｛αq｝，q=1，2，…，Nα，则所有奇异性子集x（αq）的并即为原时间序列｛x（i）｝。

3）奇异域的互相关平均功率

在分别对x（t）和y（t）进行奇异子集分解的基础上，针对给定的奇异性指数，计算两个具有相同奇异性指数子集（时间序列）的平均互相关功率Pxy（αq），为方便表述，假定奇异性指数为α，将两个时间序列与之对应的奇异性子集｛x（αq）｝和｛y（αq）｝分别表示为xαq（t）和yαq（t），其离散形式分别表示为｛xαq（k）｝，k=1，2，…，Kα和｛yαq（m）｝，m=1，2，…，Mα。其中，Kα和Mα分别为时间序列x和y中包含的离散点集的数量。

从而可得，两者之间的互相关功率

采用离散形式，互相关函数、互功率谱密度和互相关功率可分别表示为

式中，u为离散时间点的序号，U为离散时间支持最大值的离散点个数，v为离散频率的序号，V为离散频率支持最大值的离散点个数。

根据Parseval能量守恒定理，Pxy（αq）可表示为

当xαi（t）和yαj（t）两个子集具有不同的奇异性时，即当i≠j时，表明两个时间序列之间的互相关奇异性功率为0，即Pxy（αi，αj）=0，i≠j。

4）互相关奇异性功率谱密度

遍历所有的奇异性指数范围［αmin，αmax］，计算所有的对应奇异性范围信号子集的平均互相关功率，得到互相关奇异性功率谱密度（CSPS）的连续和离散形式分别为

有如下说明：

（1）注意式（6.87）和式（6.88）中的“连续”或“离散”主要是关于奇异域的，而不是时域或频域的，如上所述，所有基于奇异指数的信号分析处理均可视为奇异域信号处理。

（2）奇异子集xαq（t）和yαq（t）可以看作是一个具有分形维数D=（5-αq）／2的单分形时间序列。事实上，在欧几里得空间中，分形子集xαq（t）和yαq（t）在时域上是不连续的，但二者在分形几何的意义上可视为是连续的。

（3）在实际仿真中，由于所有时间序列、奇异指数和奇异子集均为离散形式，计算主要采用式（6.88）和式（6.90）的离散表达式。

图6.26给出了CSPS方法的推导过程，包括ISE的计算、奇异子集分解、奇异域互功率的推导以及互相关奇异功率谱的推导。

图6.26　CSPS算法步骤

3.CSPS特性分析

1）完备性

CSPS对奇异性的积分／求和，等于两个信号在时域的互平均功率，即

对于离散的CSPS情形，证明如下：

对于奇异性序列而言，存在如下关系：

2）物理解释

CSPS依奇异性指数进行分布，对于特定的奇异性指数值而言，CSPS的大小反映了两个信号在给定奇异性指数点相关性的强弱。若CSPS越大，表明两个信号在该奇异指数点具有的相关性越强；相反地，若CSPS越小，表明两个信号在该奇异指数点具有的相关性越弱。为统一表示奇异域相关性的强弱，定义归一化的CSPS系数为

式中，‖·‖表示向量的二模数。

3）奇异域的维纳-辛钦定理

两信号的CSPS在数值上等于两信号瞬时互相关函数的奇异性功率谱（SPS）（此关系类似于信号的互相关功率谱和互相关函数为一组傅里叶变换对），即

式中，SPS［·］表示奇异谱算子，PRxy（m）（α）简写为PR（α）。上式表明两个信号自相关的奇异谱等价于对两个信号分别进行奇异分解后相应子集的互平均功率。证明如下：

上式的最后一步将原始信号x（t）和y（t）的互相关函数分解为不同奇异子集的互相关函数。由于定义了不同奇异指数子集的互相关为0，所以最后一行公式可以简化处理。首先将具有相同奇异指数的子集进行互相关处理，然后遍历所有奇异指数范围。因此，可得

在离散情形下，即为

因此，可得奇异域的维纳-辛钦定理

本节中相关字母含义如表6.1所示。

表6.1　本节中的字母含义表

4.2D-SPS和2D-CSPS

1）2D-SPS

2D信号（图像）的奇异性功率谱可以很方便地从一维信号的SPS演变而来，不同之处在于，将原来的瞬时奇异性指数估计替换为二维的奇异性估计函数，同样将二维奇异性指数函数离散化，采用离散的功率计算公式，即可得到2D-SPS的表达式。(www.xing528.com)

式中，＃｛·｝为求集合中元素个数的运算符。

2）2D-CSPS

对于2D信号（图像），需采用二维互相关奇异性功率谱（2D-CSPS）进行分析，2D-CSPS的推导过程与CSPS类似。假定二维信号可表示为x（i，j）与y（m，n），首先对x（i，j）和y（m，n）进行二维的奇异性估计，可采用基于广义二次变量的Holder指数估计方法分别计算其二维瞬时奇异性指数α（i，j）和α（m，n），基于二维瞬时奇异性指数作二维奇异性子集分解，得到x和y的二维信号的奇异性子集xα（t）和yα（t），可表示为

为简化计算过程，可将X（αp）或Y（αq）视为一维数据，对于互相关功率计算而言，由式（6.100）知数据排列的顺序并不影响计算结果，因此，可得到二维互相关奇异性功率谱分布为

对于二维信号（图像），可采用广义基于二次变量的Holder指数估计方法（estimGQV2DH）估计其二维瞬时奇异性指数。