充型过程流场模拟数学模型优化方案

铸件充型过程是铸件凝固成型的前导，充型流动不仅对卷气、夹渣、浇不足等铸造缺陷产生直接影响，充型过程中换热所形成的铸型铸件凝固过程初始温度的分布还是直接影响凝固过程模拟结果的重要条件。许多铸件缺陷都是在充型不利的情况下出现的，了解和控制液态金属充型过程是获得优质铸件的重要条件。

在压力铸造条件下，液态金属在数万千帕的高压下以10～30m/s的速度填充型腔，这使得金属液以喷射湍流状态进入并填充型腔。湍流是一种高度复杂的非稳态三维流动，流体的各种物理参数（如速度、温度、压力等）都随时间与空间发生随机变化。从物理结构上说，可以把湍流看成是由各种不同尺寸的涡旋叠合而成的流动，这些涡旋的大小及旋转轴的方向是随机的。湍流模拟的数值计算方法采用Reynods时均方程法，在这类方法中，将非稳态的控制方程对时间作平均，在关于时均物理量的控制方程中包含了脉动量乘积的时均值等物理量，所得方程的个数少于未知量的个数，而且不可能依靠进一步的时均处理来使方程组封闭，就必须作出假设，即建立模型。这种模型把未知的、更高阶的时间平均值表示成较低阶的、在计算中可以确定的量的函数，这是目前工程湍流计算中所采用的基本方法。

1.SOLA-VOF数学模型

铸件充型过程中液态金属的流动遵循流体动力学规律，可用质量守恒和动量守恒的基本控制方程来描述。在充型过程中，金属液与铸型间的热交换可通过建立热量平衡方程来描述。具有自由表面的非稳定流动计算的关键问题在于确定自由表面的位置，跟踪自由表面的移动，处理自由表面的边界条件。有限差分法通常采用SOLA-VOF法和MAC法解决上述问题，而ProCAST是世界范围内最早采用有限元方法处理充型过程的商品化软件，它基于Galerkin方法，目前进行铸件充型过程数值模拟多采用SOLA-VOF法，SOLA是求解速度场-压力场的迭代方法，而VOF则是处理自由表面的方法。

在铸件充型数值模拟过程中，将金属液看做是粘性不可压缩的流体，在型腔中流动填充。其流动过程服从质量守恒方程和动量守恒方程，其数学形式就是连续性方程和N-S方程。

（1）连续性方程

（2）N-S方程

式中 u、v、w——速度矢量在x、y、z方向上的分量；

D——散度；

ρ——密度；

p——单位密度的压力；

μ——运动粘度；

g——重力加速度；

t——时间；

2——拉普拉斯算子。

（3）能量方程

式中，S为源项；等号左边的第2、3、4项即为由于流体流动所引起的温度变化。

式（6-5）表明此时的导热过程由两部分组成，除了流体的导热能力外，还依靠它的宏观位移来传递热量。

（4）体积函数方程 自由表面的处理是压铸充型过程数值模拟的难点之一。可采用一种简化的三维VOF方法，引入体积函数，有效地实现对自由表面的处理，即体积函数方程。

式中，F为体积函数，当F=1时表示充满状态；当0<F<1时表示自由表面；当F=0时表示空格状态。

铸件充型过程中金属液的流动通常是湍流流动，只采用上述层流流动描述是不准确的，在实际计算中会带来误差，无法对湍流所特有的现象进行模拟。铸件充型过程中湍流的模拟必须考虑以下因素：

1）充型过程中的湍流是尚未充分发展的湍流。

2）在近壁处对湍流模型应作必要的处理。

3）湍流模拟不应给计算机带来太大的负担，模拟的准确性与计算量应相互协调。

基于上述考虑，这种流动状态更适合湍流模型流动方程。湍流模型采用的是涡粘性模式中的k-ε双方程模型，又采用代数应力方程及近逼函数等方法来修正模拟铸件充型过程中的湍流现象。

湍流模型有零方程模型、单方程模型和双方程模型。其中双方程模型在CAE技术的数值模拟过程中应用的比较广泛。(www.xing528.com)

2.k-ε双方程模型

对于上面的流场基本控制方程，如果将各个瞬时量分解为时均值及脉动值，即进行Reynods展开，然后再取时间平均，可得到湍流流动的Reynods时均方程组。在各种时均方法中，k-ε双方程湍流模型的应用最为普遍。湍流动能k和湍流动能耗散率ε由下面的方程来确定。

（1）湍流动能k方程

（2）湍流耗散率ε方程

由k和ε值可以确定μ_t，即

μ_t=c_μρk²/ε（6-9）

式中U_i——x_i方向时均速分量；

U_j——x_j方向时均速分量；c₁、c₂、c_μ、σ_k、σ_ε——湍流经验参数，见表6-1。

表6-1 k-ε双方程模型中的经验参数值

在原层流模拟计算程序的基础上，很容易将k-ε双方程湍流模型加入，编制出可以模拟湍流现象的铸件充型过程模拟计算程序。但是，k-ε双方程模型是在湍流各向同性的假设前提下，无法考虑不同方向上的不同作用。实际中不少湍流流动都是各向异性的，流动往往在某一个方向上很强，其他方向上较弱，因此需要对k-ε双方程模型进行一些修正。

3.代数应力模型

代数应力模型的主要思路是设法将应力的微分方程简化为代数表达式，以降低模型的复杂性，同时保留湍流各向异性的基本特点。由于微分方程中含导数的是对流项及扩散项，因此要把微分方程变成代数表达式就要设法消去这两项，使其在方程中不出现。作简化近似，直接假定应力与热流的产生及销毁达到局部平衡，于是得到一组表达代数应力模型或称扩展的k-ε模型的封闭方程组。

式中——应力分量；——热流分量。

可以看出，代数应力模型保留了湍流各向异性的基本物理特性，比常规的k-ε模型仅仅多了一些代数表达式，而且无需单独给定应力分量和热流分量的边界条件，因为这些应力及热流分量都是k、ε速度梯度和温度梯度的已知函数，所以只要给定k、ε、v_i和T等变量的边界条件就能满足方程求解的需要。

4.低雷诺数Re湍流模型

上述两种基于k-ε双方程的湍流模型和有关的常数都是在远离壁面或靠近壁面的旺盛湍流流动条件下得出的，称为高雷诺数Re模型。在铸件充型过程的数值模拟中，湍流计算不可避免地要涉及铸型壁表面覆盖在壁面上的边界层。根据边界层的结构特征，在贴近固体壁面处存在着粘性底层及过渡区，此处湍流雷诺数已经很小，若将上述高雷诺数的k-ε双方程模型应用到壁面附近区域的计算中去，也必须做出修正。

低雷诺数Re湍流模型要应用到靠近壁面的粘性层区域，必须在三方面做出修正。

1）在k和ε的输运方程中，必须考虑到分子扩散项。

2）在低雷诺区域内，c_μ和c₂等某些系数不应是常数，应该是湍流雷诺数的函数。

3）需要考虑壁面耗散的非各向同性，在k和ε方程中加入修正项。

据此，得出适用于壁面粘性区的低雷诺数Re模型。低雷诺数Re模型的湍流脉动动能k方程和湍流脉动动能耗散率ε方程分别为

式中，i=1、2、3；h为固体壁面的法线方向；f₁=1.0；μ_t=f_μc_μρK²/ε；f₂=0.3 exp（-Re_t²）。