张量场及其梯度与运算

聚合物流动和变形要用张量来描述。在全部空间或部分空间里，如果每一点都有一个确定的张量与之对应，就称这个空间里确定了一个张量场。例如聚合物流体运动的不均匀形变，其中各点的应力构成应力张量场T(x，y，z，t)。若应力张量场既是位置的函数，又是时间的函数，此张量场为非定常张量场；与时间无关的张量场为定常张量场。数量场和矢量场都属于张量场。数量是零阶张量，矢量是一阶张量。

本小节仅介绍稳定的二阶张量场，包括矢量场的梯度、张量场的散度两部分。

在2.3.1节定义了数量场u(x₁，x₂，x₃)的梯度

且由下列公式可方便地求出数量场对任一方向的方向导数

类似地，可定义矢量场的梯度为

式(2.4.31)所示的是张量。因此在确定了矢量场的梯度ΔA以后，就能运用上式求出矢量场对任一方向的方向导数，有

式中，cosα，cosβ，cosγ为l的方向余弦，即为单位矢量l⁰的分量。

矢量场A的梯度也可表示为

或表示为矩阵形式

由矢量场梯度的定义可得运算式

例题2.4.8 证明矢量场的全微分dA＝dr·ΔA。

证明：因为矢径的微分为dr＝dx₁e₁+dx₂e₂+dx₃e₃，且矢量A的梯度为

故等式两边相等

例题2.4.9 若u为数量和A为矢量，证明运算式 Δ( uA)＝uΔA+ ΔuA。

证明：按照定义计算

上式两边相等，有(www.xing528.com)

Δ(uA)＝uΔA+ΔuA

前面已经介绍，面元矢量dS与该面元处矢量场点积表示该面元上通过的某种数量。例如dS·u表示通过dS的流量；dS·ε表示单位时间内通过dS的能量。

面元矢量对该面元处张量场的点积表示该面元上通过的某种矢量。例如dS·T表示通过dS的弹性力；dS·P表示单位时间内通过dS的动量。

在2.4.2节介绍了矢量场A在有向曲面S上的通量∬_SdS·A。定义矢量场的散度为

用张量运算符表示为

类似地，定义张量场T在有向曲面S上的矢通量为

同理，为了描述闭合曲面矢通量的变化率，引进张量场的散度概念。

张量场散度的定义：在闭合曲面上，张量场的矢通量与该曲面所包围空间的体积之比的极限（当曲面向一点无限缩小时）为张量场的散度，记为divT或Δ·T，即

式(2.4.37)是奥—高公式的另一种表示形式。由矢量变换关系式可证明，Δ·T为矢量。若R，S都为张量，有运算式

拉普拉斯引入了一个数性微分算子Δ，称为拉普拉斯算子，它与哈密顿算子Δ的关系为Δ＝Δ·Δ＝Δ²。矢量场A的拉普拉斯表示式被定义为矢量A梯度场的散度，即

式中，矢量场A的梯度是张量。

矢量场的拉普拉斯算子，其结果为矢量，可以用矢量定义证明，有

在直角坐标系中的表达式

在直角坐标系中，若速度场矢量u＝u_xi+u_yj+u_zk为调和场，用式(2.4.40)计算得到速度矢量拉普拉斯算子的形式

该二阶偏微分方程称为三维拉普拉斯(Laplace)方程，满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。方程式(2.4.31)中可写成Δu_x，Δu_y，Δu_z称为调和量。数量场的拉普拉斯算子的结果是数量。