垂直冲击的危害及防护措施

图12.6(a)所示的等直杆,长为l,横截面积为A,材料的弹性模量为E,一个重量为Q的冲击物以速度v沿杆轴线方向向下冲击到杆件顶端,使杆发生轴向压缩。现在分析杆等直杆的应力和变形。

图12.6　垂直冲击

当冲击重物以速度v刚与杆顶端面接触的瞬间,杆件尚未变形,其应变能为0,重物在此位置的势能则可设为0,而重物的动能为

设重物和杆顶端接触后,两者一起运动,杆受压变短,重物随之下降,其速度逐渐减小。

当杆的压缩变形量达到最大值,即冲击点(杆顶端面)沿冲击方向产生最大动位移δd时,重物的速度减为0,重物的动能等于0,这时杆受到最大的冲击载荷FPd作用,这时冲击过程终止,如图12.6(b)所示。

在冲击过程中重物减少的势能为

由能量守恒定律可知,在整个冲击过程中重物减少的动能和势能,全部转化为杆的弹性应变能Vε,即

而杆件的弹性应变能Vε应等于冲击载荷在冲击过程中所做的功。冲击载荷与冲击点动位移都是从0开始增加到最终值,且两者呈线性关系(见图12.7),故被冲击杆件应变能为

c为杆件的刚度

式中:δst是指将重物的重量Q以静载荷的方式沿冲击方向(向下)作用于冲击点(杆的顶端),所引起的冲击点沿冲击方向(向下)的静位移。

图12.7　冲击载荷与冲击点动位移呈线性关系

在图12.6(c)所示的情况下,静位移δst为

即杆件的刚度为

将式(a)、式(b)、式(d)代入式(c)化简得

解此方程取正根,可得

则垂直冲击时的动荷因数为

当冲击物为无初速自由落体冲击时,称为落体冲击,这是一种常见的垂直冲击情况。设重物Q从冲击点(杆顶面)上方高h处自由落下对杆进行冲击,因v2=2gh,代入式(12.7),即得自由落体冲击的动荷因数

需强调,以上各式中的δst是指将冲击物的重量Q以静载荷的方式沿冲击方向作用于冲击点,使冲击点产生的沿冲击方向的静位移。

当h=0时,构件所受到的载荷称为突加载荷,这时由式(12.8)可得Kd=2。可见,突加载荷作用下构件中的应力和变形等内效应量均为相应静载荷下的2倍。

若将Kd代回式(f)、式(e),整理可分别得出:

最大冲击动载荷

最大冲击动内力

最大冲击动应力

冲击点最大动位移

即

由式(12.9)可知,构件受冲击时的动变形和动应力分别等于动荷因数乘以相应的静变形和静应力。其相关结论与式(12.1)、式(12.3)、式(12.4)是一致的。

上面的结论虽然是在等直杆在垂直冲击下的轴向压缩情况下得出的,也适用于水平冲击,还适用于等直梁在冲击载荷下的平面弯曲的情况。

【例12.3】如图12.8(a)所示等直杆和图12.8(b)所示阶梯形直杆的总长度相等,且均为圆截面,材料相同,但直径有差别,受重量相等的重物从相同高度处自由落体冲击。已知:l=600 mm,h=50 mm,d=22 mm,E=200 GPa,Q=200 N,杆的质量忽略不计。试计算各杆的最大冲击应力。

图12.8　例12.3图

【解】(1)求图12.8(a)等直杆的最大冲击应力。

设重物Q以静载荷方式作用于杆顶面,相应冲击点的静位移为

动荷因数

静应力

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等直杆最大冲击应力

(2)求图12.8(b)阶梯形直杆的最大冲击应力。

冲击点的静位移等于全杆的静变形,即

动荷因数

在阶梯形直杆中间段,有最大静应力为

阶梯形直杆最大冲击应力

故图12.8(b)所示阶梯形直杆与图12.8(a)所示等直杆的最大冲击应力之比

【例12.4】如图12.9所示,两根长度相等、截面均为14号工字钢的简支梁,材料的弹性模量E=200 GPa。一根梁两端支承在刚性支座上,另一根梁两端支承在弹簧常数c=100 kN/m的弹簧支座上。一重量为Q=1 kN的重物从h=50 mm高度处自由落下冲击到梁的跨中C。试求两根梁的最大冲击应力和最大冲击挠度。

【解】(1)二端支承在刚性支座上的梁,对应图12.9(a)。

由型钢表查得14号工字钢的几何性质

设重物Q以静载方式作用于梁跨中点C

图12.9　例12.4图

该点的静挠度

在跨中截面C处,有梁的最大弯曲静应力

则动荷因数为

最大冲击弯曲正应力发生在截面C的上下边缘处,其值为

最大冲击挠度也发生在C截面,其值为

(2)两端支承在弹簧支座上梁,对应图12.9(b)。

设重物Q以静载方式作用于梁跨中点C,冲击点的静位移等于梁两端支承为刚性支座时该点的静挠度加上两端支承为弹簧时在该点引起的静位移,即

则动荷因数为

最大冲击弯曲正应力

最大冲击挠度在截面C,其值为

[讨论1]:可见两种支承情况下最大冲击弯曲正应力之比值如下。

因为

如果假设h=0,则(Kd)a=(Kd)b=2

可见,h=0时,两种支承情况下最大冲击弯曲正应力没有区别,但随着h的增大,便能显现出弹簧支承梁的抗冲击优势特性。

[讨论2]:若本题中高度由h=50 mm变为h=6 000 mm,情况又会是怎么样呢?其计算结果如下。

(1)二端支承在刚性支座上的梁

(2)二端支承在弹簧支座上梁

此时,两种支承情况下最大冲击弯曲正应力之比值

结果表明:有减振装置的梁的动效应比没有减振装置的梁的动效应在更极端的情况下更偏于安全。

结果还表明:在h=6 000 mm(即相当于两层楼的高度)较极端的情况下,此梁无论是处于刚性支座上还是处于有减振装置弹簧支座上,其动效应(最大工作动应力和最大动挠度)都远远超出了工程上梁的强度和刚度的许可值范围,即发生瞬间破坏。在“9·11”事件中双子塔在最后阶段发生瞬间崩塌的主要原因与此类似。