Hausdorff维数的定义和性质

1.Hausdorff维数

Hausdorff维数的定义：令F⊆Rn，则集F的Hausdorff维数为

满足式（2.17）的Borel集称为s集。

在数学上，s集是最适合于研究的，且我们经常遇到的集大多数都是s集。例如，设F为R3中具有单位半径的平面圆盘，由长度、面积和体积的性质可知：H1（F）=length（F）=+∞，0＜H2（F）=1／2×area（F）＜+∞，H3（F）=1／6×vol（F）=0。于是，如果s＜2，则Hs（F）=+∞；如果s＞2，那么Hs（F）=0，即dimH（F）=2。

2.Hausdorff维数的性质［9-10］

（1）开集：若F⊆Rn为开集，因F包含一个具有真正n维梯级的球，则dimH（F）=n。

（2）光滑集：若F为Rn中的光滑（即连续可微）m维流形（即m维曲面），则dimH（F）=m。特别地，光滑曲线维数为1，光滑曲面维数为2。

（3）单调性：若E⊆F，则dimH（E）≤dimH（F）。这从测度性质（即定理2.1）容易得出。

（6）几何不变性：如果f是Rn中如平移、旋转、相似或仿射之类的变换，则dimHf（F）=dimH F。

（7）Lipschitz不变性：如果f是双Lipschitz变换，则dimHf（F）=dimH F。

推论2.2　利用定理2.4，如果f是Lipschitz函数，即α=1，那么dimHf（F）≤dimH F。

如果f是双Lipschitz函数，即对于0＜c1＜c2＜+∞，有(www.xing528.com)

那么dimHf（F）=dimH F。

推论2.2揭示了Hausdorff维数的基本性质：Hausdorff维数是双Lipschitz变换下的不变量，若两个集有不同的维数，则它们之间不存在双Lipschitz映射。