傅里叶维数及其应用

可以对Hurst指数为H的分形布朗运动的位移曲线进行傅里叶变换，把原来在时域内以时间t为变量的函数BH（t）变换为频域内以频率f为变量的函数B（f），也就是将原来的函数分解为一系列振幅不同的频率变化的正弦函数，得出频域内振幅随频率变化的函数

式中，T为BH（t）在时域内延伸的区间。由于振幅的平方正比于功率，定义单位时间内的功率谱密度S（f）为：S（f）=B（f）2／T。在BH（t）属于分形的条件下，可以得到S（f）的下列幂函数：S（f）～f-β，即ln S（f）～βln（f-1），它表示f愈大，功率谱密度愈小。下面通过时间标度的变换得出S（f）中的指数β和BH（t）中指数H之间的关系。先将时间t变换为t′=bt，根据自仿射性，〈|BH（t′）|〉=bH〈|BH（t）|〉，即时间间隔扩大b倍后，位移绝对值的平均值扩大bH倍。相应地，B（f）变换为

式中，因t′=bt，积分上限也扩大为bT，bH+1来源于BH项中的1／bH和最后的微分项（t′／b）中的1／b。式（3.10）表示，时间标度扩大b倍、频率标度缩小b倍后，频谱的振幅扩大了bH+1倍。由此得到(www.xing528.com)

即频率标度缩小b倍后，功率谱密度扩大b2H+1倍。这说明功率谱密度具有自仿射性，也说明功率谱密度是频率的幂函数。因此，式（3.11）中的2H+1是功率谱密度的谱指数β，对于一维信号，利用H和D的关系后，得到：β=2H+1=5-2D。因为0≤H≤1，相应的1≤D≤2，相应的1≤β≤3。对布朗运动H=1／2，β=2，即S（f）～f-2，这就是说布朗运动是属于1／f2噪声。对于二维信号，有β=2H+2=8-2D，其中D=3-H。