分形维数及其多重定义解析

分形可分为规则分形和不规则分形。规则分形又称决定论（deterministic）分形，它是按一定规则构造出的具有严格自相似的分形。不规则分形是在生长现象和许多物理问题中产生的分形，其特点是不具有严格的自相似性，只在统计意义上是自相似的。在分形名词使用之前，一些数学家就提出过不少复杂和不光滑的集合，如Cantor集、Koch曲线、Sierpinski铺垫、地毯和海绵等，这些都属于规则的分形图形，具有严格的自相似性。而自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线和变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超出标度不变区域自相似性就不复存在，这类曲线为不规则分形。由数学严格迭代产生的分形，可直接由定义出发确定其分形维数。

一般将维数理解为图形中确定一个点的位置需要的坐标数。由欧氏几何可知，直线的维数是1，方形、圆、椭圆等平面图形的维数是2，立方体、球等立体图形的维数是3。把分形看作是嵌置于欧几里得空间的点集，为确定其维数，核心是如何测量一个点集的大小。最简单的办法是用线元、面元或体元去覆盖它。分形维数通常不是整数；在特殊情况下也可能是整数，但它总是不大于分形所嵌置的欧氏空间的维数。可以将Hausdorff测定分形维数的方法加以推广，利用以下的公式从测度的角度把规则图形的维数D确定为

式中，ε为测量单元的尺寸（测量光滑曲线用尺子、测量规则平面图形用正方形或圆、测量规则立方图形用立方体或球，测量的方法是用这些单元去连续地覆盖图形），N（ε）为测度得到的规则图形的测量单元数。随着ε的缩小（可以取ε＜1），N（ε）将不断增大。

由上述分析，可将分形的特点归纳如下：①图形是“支离破碎的”，从数学上看，它处处是奇点，如处处不连续或处处不可微；②分形具有标度不变性，即改变尺度或标度时，图形是相同的或相似的；③分形的Hausdorff维数一般是分数（不排斥是整数），并且大于拓扑维数。(www.xing528.com)

这些特点也存在于不规则分形中，但不规则分形中的自相似性是统计意义上的，即总体来看局部和整体是相似的。规则分形的自相似性或标度不变性是无限的（测度尺度可以趋于无限小），不管我们怎样缩小或放大标度去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。但是实际观察到的分形的最小组成部分是有限的，也就是说标度的下限应大于实际分形的最小组成部分。任何有限分形图形的标度的上限应小于、等于整个图形的尺寸。

Hausdorff首先引入维数的概念，该维数以Hausdorff测度为基础，且适合于任何集合。但从定义出发计算分维是相当困难的，这种计算上的困难也极大地限制了Hausdorff维数的应用。要了解分形，人们就有必要了解Hausdorff测度与Hausdorff维数。随着分形应用研究的不断深入，出现了多种分形维数的定义，除了Hausdorff维数以外，还有相似维数、计盒维数、容量维数、填充维数、Kolmogorov维数和Lyapunov维数等。大多数分形维数的定义均是基于“尺度δ下的度量”这一思想。