数学家的数学文化活动-中学数学发展研究成果

3.1.1.1　历史上数学家的活动

古希腊时代，一批追求自由、勇于创造又充满激情的伟大学者泰勒斯（Thales）、毕达哥拉斯（Pythagoras）、欧几里得（Euclid）、阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）等，创立了一门内容丰富、令人惊叹不已的第一流的学科——数学.他们显赫的声望吸引着大批来自各地的年轻人，他们聚集在一起，尽管没有校园，但却是真正的学术中心，最终形成学派.其中最有影响的毕达哥拉斯学派，为希腊数学本质和内容的确立奠定基础.这学派主要研究哲学、科学和数学.在数学上，他们第一次抽象地处理数学概念，将数学理论从诸如大地测量、计算这样的实践活动中分离出来，而且证明了平面几何、立体几何、算术即数论中的基本定理.他们发现并证明了的无理性.古希腊数学家追求的是数学抽象给人带来的自由、挑战.

让我们再追踪到现代数学的开端之际，19世纪至20世纪之交，现代数学的代表人物之一法国数学家彭加莱开创了现代数学新领域，例如自守函数论，它是三角函数、椭圆函数的推广，它的引入，使得微分方程、代数几何、代数数论找到了新的立足点；创立了微分方程的定性理论，这门崭新的学科研究微分方程解在奇点附近的性质，根据极限环的情况可以判断解的稳定性.［5］在如此深奥、抽象的研究中，彭加莱似乎更多的是享受，他这样描述自己的感受：“数学家首先会从他们的研究中体会到类似于绘画和音乐那样的乐趣；他们赞赏数和形的美妙的和谐；当一种新的发现揭示出意外的前景，他们会感到欢欣鼓舞……”［6］

同时代的英国数学家哈代（G.Harold）则是20世纪纯粹数学卓越的贡献者和不倦的辩护士.他对数论、调和分析、函数论等众多领域贡献出了具有经典意义的成果，例如，1914年哈代成功证明了黎曼-ζ函数（Riemann zeta-function）有无穷多个零点位于直线σ=1/2上，这是在举世瞩目的数学名题黎曼猜想的研究历史上取得的第一个实质性突破.哈代关于三角级数收敛性、发散级数求和、积分变换等方面广泛深入的研究结果，大大丰富了整个调和分析的领域.在数学研究过程中，哈代对纯粹数学对象、本质、研究动机与价值等一系列问题进行分析阐述.同样，哈代把数学看成一种艺术，在他心目中，纯粹数学是以美为至上标准的“概念造型”艺术.他对数学对象的认识也有自己的见解，他认为数学对象（包括概念、定理等）是一种独立的客观存在，数学存在于我们之外，我们的作用是去发现或观察它，我们证明的被夸张地描述成我们的“创造物”的定理，仅仅是我们观察的记录.

数学家的数学活动也是智慧交锋、观点碰撞的活动，有时也表现出数学家作为常人可能有的贪婪、嫉妒、野心和自私.典型的事例之一为发生在19世纪70年代早期的数学家克罗内克（L.Kronecker）与其学生、数学家康托尔（G.Cantor）之间的抗争，师徒之间因为对数学“普遍观念”的挑战，产生冲突，导致师生反目，作为学生的康托尔身心遭到严重打击.事情经过是这样的，在数学研究中，康托尔宣称：对数和数论来说，整体不一定大于它的一部分，这对欧几里得广为人知的一个“普遍观念”，即整体大于部分，无疑是一个离经叛道的主张.康托尔坚持主张一个实在、具体的无穷概念，认为有很多种不同规格的无穷，他甚至找到了一种在数学上处理这个观念的方法.康托尔将集合论和无穷这两个观念结合起来，提出了无穷集.他的新数论影响到那个时代的整代人，并对他们的数学观念形成挑战.它引发了一场动摇数学根基的批判性数学内审，遭遇了强烈的反对，其中最重要的反对者是康托尔的老师、地位颇高的数学家克罗内克.与康托尔冲突达到顶点时，克罗内克认为康托尔是一个科学骗子、叛徒、败坏青年者.

克罗内克的成就主要在于他在整合算术、代数和分析学上的努力，以及他在椭圆方程上的贡献.他相信所有的算术可以建立在整数的基础上.因此，他认为在算术中，分数仅仅是派生出来的，只有充当符号的用途.他认为不仅是分数，无理数和复数也都是错误和虚幻的观念，它们是运用一些错误的数学逻辑得出来的.他带着这种执着的“数学真理”，利用各种手段对康托尔的“无穷理论”进行抨击，例如阻挠康托尔在顶级刊物上发表研究成果，干预他去知名大学应聘教授，书信交流中言辞冲突等，这些都是导致康托尔精神崩溃、不得不入住精神诊所治疗的原因.尽管如此，康托尔捍卫着自己的成果，让集合论成为数学的基石，对数学分析、函数理论、拓扑学和非欧几何的进一步发展产生极其重要的作用.康托尔1918年辞世后被安葬在德国哈勒大学，他的墓碑上有这样一句话“数学的精髓就在于它的自由”，确实康托尔更倾向于用“自由数学”这个词，而不是更为大众的“纯粹数学”.［7］

3.1.1.2　中国数学家的数学文化活动

中国对于数学发展的贡献也是世界公认的，在数学国际平台上活跃着不少中国数学家，他们一方面通过研究推动着数学发展，另一方面构筑着特有的数学精神和数学文化.由于篇幅原因仅列举一二进行分析.

陈省身与微分几何

世界著名的数学家陈省身当属历史上伟大的几何学家之一.他曾经在法国数学家嘉当（E.J.Cartan）的指导下，迅速达到微分几何研究的前沿，成果累累.尤其是证明高维的高斯-博内（Gauss-Bonnet）公式，构造了现今普遍使用的陈氏示性类（Chern Class），为整体微分几何奠定了基础.

一般来说，分析学是数学的主体，微分几何是微积分在几何上的应用.随着爱因斯坦（A.Einstein）广义相对论和杨-米尔斯（Yang-Mills）规范场论的推动，以及整体微分几何的形成，使得微分几何成为当代核心数学发展的主流学科，反过来推动分析学的发展.第二次世界大战以后的数学，从线性数学转到非线性数学，从局部性质研究过渡到整体性质研究，从现实空间发展到研究一般的n维流形，微分几何恰好顺应了这一发展趋势.因此，陈省身由于在整体微分几何上的杰出贡献，获得了沃尔夫奖.(www.xing528.com)

陈省身在介绍自己为何选读几何学时，说自己从不赶时髦，进入几何领域，完全是由环境决定，由当时的导师姜立夫和孙光远带着他进入几何学研究领域.他以淡定的心境开始几何学研究.陈省身曾经谦和地谈论自己从事数学研究的观点：“我只是想懂得数学.如果一个人的目的是名利，数学不是一条捷径……长期钻研数学是一件辛苦的事.何以有人愿这样做，有很多原因.对我来说，主要是这种活动给我满足.”［8］

陈省身在研究整体微分几何过程中，认识到微分几何学趋向整体是一个自然的趋势.了解局部的性质以后，自然想知道它们的整体含义.在研究中，他发现有整体意义的几何现象在局部上也特别美妙.在研究过程中，他也认识到，研究整体几何学需要坚实的经典几何知识基础，要掌握当时最新的代数拓扑理论，对几何方法加以改造.这样才能别开生面，独树一帜.

陈省身结合自己从事数学研究活动的特点，生动地归纳数学家活动的特点.他认为，工匠和工艺师都是不可少的，优秀工艺品可以价值连城.问题是数学大厦的结构需要数学家设计，而新学科的开辟，往往有赖于新的数学观念和思想.这些光靠坐在办公室里练技巧是不成的，必须广为涉猎，与人交谈通信，融会贯通，扩大视野.

华罗庚的数学文化生涯

与古今中外的所有著名数学家一样，华罗庚的数学科学生涯始于纯粹数学领域.由于他永无止境的勤奋探索，在数学上不断创造高峰，例如他在垒堆素数论、自守函数、矩阵几何上创造出卓越成果，同时他对应用数学研究也有突出贡献.1950年他回国后，又致力于人才培养，培养出来大批纯粹数学研究的将才，对中国数学发展有着特殊功绩.国外评论说：很难想象没有华罗庚回国，中国的数学会是什么样子.

华罗庚在应用数学上的成果包括两个方面，一是来自数学内部的应用数学研究，这些研究成果成功地把纯粹数学中的数论理论应用于解决其他数学领域（近似分析、统计）中的问题.在把纯粹数学的理论与方法用于解决其他领域的应用研究上，华罗庚倡导编码问题研究，使得研究者在这个领域取得突出成果.华罗庚还鼓励冯康开创计算数学领域研究，取得了创造有限元方法与辛几何算法的卓越成果.

二是以解决实际问题为目标的应用数学研究，希望这些研究成果能为中国经济建设服务.但当时在华罗庚的脑海中还没有具体的内容和形式.他深感要从纯粹数学传统学科思想的影响中跳出来，实在不易.另外为国民经济服务的数学不单是一个数学学科，研究的问题多来自数学外部，光有数学功底和素养还不能胜任.正如著名的数学家丹齐格（G.B.Dantzig）说的：“对于从来未接触过应用方面的问题、只有纯粹数学背景的人来说，要他懂得如何用数学术语表达一个现实世界的问题，差不多是不可能的.解决现实问题就更难了.”［9］但华罗庚则表示：“这条道非我自己亲自去探路不可了！没人敢去了，因为一去就碰钉子，让你们（指年轻人）去行吗？不行！我必须亲自出马，我还有我的优势.”［10］

就是这样一位世界一流的纯粹数学家在一个发展中国家开展应用数学，所走的路、所形成的独特思想是十分珍贵的.在20年的探索过程中，华罗庚形成了自己的应用数学观、应用数学思想、方法论.

华罗庚对应用数学的认识和重视始于20世纪40年代初.20世纪40年代在昆明西南联大时期，他对中国数学的发展已形成“横贯纵通”的构思，并提出了当时正在筹建的数学研究所应包括纯粹数学部、应用数学部、计算机部.他重视应用数学，并且不满足于在自己熟悉的天地里施展宏图，他的思路有着必然的奇特性.这是他行为奇特的基石.从1946年到1957年，他一直强调应用数学的重要性，并且鼓励他人从事应用数学分支的研究，如有的研究计算数学，有的研究微分方程，有的则研究运筹学.

图3-1　华罗庚的中国数学发展构思