基于小波的分形布朗运动重构方法

基于小波的FBM重构方法主要依据下述性质：对于给定的尺度j，小波系数dj，k是关于时间变量k的近似的平稳的高斯白噪声，而每个尺度所对应的高斯白噪声序列的方差按照2-rm的关系变化，即

其中，R为小波基的消失矩阶数。生成步骤如下。

步骤1　给定需要分形信号的参数，如功率谱因子γ、自相似的尺度H或者分形维数D三者之间的关系为：γ=2H+1；D=2-H（0＜H＜1）；

步骤2　对应于尺度M，产生M个零均值单位方差的高斯白噪声序列，序列的长度约随着尺度的加倍而减半（与小波的阶数／滤波器的长度有关）；

步骤3　按照方差随尺度的线性关系产生不同尺度的小波系数，如式（7.14）；(www.xing528.com)

步骤4　选择具有R（R＞r／2）阶消失矩的小波函数，按照重构公式产生分形信号

还需要注意：尺度M选择越大，则重构的效果越好，而且阶次越高越好，这样产生的过程是近似的1／f过程，其功率谱函数满足不等式

利用Weierstrass-Mandelbrot函数是模拟分形布朗运动的另一种方法，WM函数可表示为w（t）=∑［1-cos（γnt）］／γ（2-D）n，nmin≤n≤nmax，γ＞1，2-D=H，γnmin≅2π／T，γn max≅2π／Δt，Δt为最小时间间隔，分维数D∈（1，2）决定了曲线的曲折程度。给定数b＞1，且0＜H＜1，定义Weierstrass函数w（t）=c1b-H sin（bt+d1）+c2b-2H sin（b2t+d2）+c3b-3H sin（b3t+d3）+…。式中，ci是均值为0、方差为1、服从正态分布的变量，di在区间0≤di≤2π上服从均匀分布。

此外，多分形布朗运动信号序列（multifractional Brownian motion，m FBM）的瞬时Holder指数是随着时间连续变化的，如周期性变化的H（t）=0.5+0.3sin（4πt）或线性变化的H（t）=0.1+0.8t等，具体可参考Matlab软件包Fraclab2.2提供的mFBM信号构造函数和帮助文档。