克勒尼希—彭尼模型的物理意义和应用

如上所述，周期势场中的电子波函数是布洛赫函数。然而，一般对于式（3-35）无法精确求解。下面采用一种近似方法。这里介绍克勒尼希—彭尼的非常简单的一维模型，由这个模型能够对式（3-35）求出解析形式的解，并能定性地说明周期势场中电子运动情况的本质。

图3-11 克勒尼希—彭尼模型中势阱

如图3-11所示，将一维晶体的晶格势场V（x）近似成宽度为b，周期为a+b（后面设b→0，这时周期即为a），高度为V₀的方势阱。波动方程和波函数的布洛赫函数为

式中

u（x）是以a+b为周期的周期函数，波数k=2πg/（Na），g是0≤g≤N-1区间中的整数。

将式（3-49）代入式（3-48）得

式中

设式（3-49）中u（x）的值在0≤x≤a区间中为u₁（x），在区间-b≤x<0中为u₂（x），由式（3-51）得到

式中

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方程式（3-53）和方程式（3-54）的解分别为

式中，A、B、C、D为积分常数。

由量子力学可知，波函数一次微商在x=0和x=a处必须连续。另外，由于周期性，u（x）和du/dx在x=a和x=-b处具有同样的值。因此，边界条件为u₁（0）=u₂（0），u₁′（0）=u₂′（0），u₁（a）=u₂（-b），u1′（a）=u2′（-b）。将式（3-56）和式（3-57）代入这些边界条件，且使常数A、B、C、D具有非零解，最终求得ε和的k关系为

当0<ε<V₀时，根据式（3-55）β是个纯虚数，令β=iγ，由数学公式cos（ix）=coshx和sin（ix）=isinhx式（3-58）变为

为进一步简化，设V₀b为常数，使V₀趋于无穷大，那么，b趋于零。由于V₀》ε，则sinh（γb）≈γb，cosh（γb）≈1，式（3-59）变为

式中，P表示V₀b的大小，P=mV₀ba/ћ²。

图3-12 P/（αa）sin（αa）+cos（αa）对αa的函数图（斜线区域存在允许能量状态）

图3-13 克勒尼希—彭尼模型的能量与波数的关系（P=3π/2）（虚线表示自由电子模型的结果）

当波动方程式（3-48）具有式（3-49）形式的解时，其能量本征值ε可由解式（3-60）求得。把式（3-60）的左边作为αa的函数用图形表示就得到图3-12的曲线。根据定义，波数是实数，而且-1≤cos（ka）≤1，所以式（3-60）左边的值在+1和-1之间，只有图3-12中打斜线区域所含的αa才存在使左边和右边相等的解。α代表了能量ε，根据式（3-60），特定的ε才能作为方程式（3-48）许可的本征值。由图3-12可以看出，许可的能量状态只存在于打斜线的带状区域里。于是，把存在许可的能量状态和不存在许可的能量状态的带状能量区域称为能带。含有许可的能量状态的能带称为许可带，不存在许可的能量状态的区域称为禁带。在0≤ka≤π的范围内改变k，则式（3-60）的右边cos（ka）在+1和-1之间变化，αa在图3-12的11′区间内变化。同样，k在π≤ka≤2π之间变化时，αa在22′区间内变化。这样便可求出图3-13的粗实线所示的α-k的关系即ε-k的关系。由图3-13可以看出，在cos（ka）=±1即k=±（π/a）n（n为正整数）处出现禁带。随着能量的增加，许可带的宽度增大，而禁带的宽度变窄，逐渐趋近自由电子的情形。在式（3-60）中，当参数P趋近于零时，cos（αa）≈cos（ka），所以利用式（3-52）可以看出，ε-k的关系趋近于自由电子的情况。另一方面，当P为无穷大时，由图3-12可以看出，许可带的宽度趋于零，电子的能量状态和孤立原子一致。