如何选择测试信号：阶跃信号和白噪声的比较

1.阶跃测试信号

当工业过程在某工作点达到稳态后，对MV施加一次阶跃改变，过程将逐渐进入新的稳态，这种MV的摄动过程被称为阶跃测试。对MV施加阶跃改变后，CV的变化曲线就是阶跃响应曲线，如图7-2所示。过程的阶跃响应中包含丰富的稳态增益和慢动态信息，但包含的快动态信息相对较少，即高频信号的能量与低频信号的能量等级相去甚远。使用阶跃信号进行系统测试时，需要注意阶跃信号的幅值和持续时间。有些工业过程到达稳态的时间过长，如果使用阶跃响应测试，得到的数据往往会受到过程扰动的污染，将导致辨识得到的模型产生严重的偏差。

图7-2 阶跃测试

2.白噪声测试信号

理论上最好的测试信号为白噪声。白噪声过程是最简单的随机过程，它的均值为零，谱密度为非零常数。白噪声的功率在-∞到+∞的全频段内均匀分布。白噪声的数学定义：如果随机过程w（t）的自相关函数为

r_w（t）＝σ²δ（t） （7-1）

其中，σ为常数；δ（t）为Dirac函数（脉冲函数），即

且

则该随机过程为白噪声过程。白噪声w（t）的谱密度为常数σ²。

离散化的白噪声序列可作为工业过程的测试信号，如图7-3所示。白噪声序列的产生可通过对某种分布的随机数进行变换得到。理论上而言，只要有了一种具有连续分布的伪随机数，就可以通过函数变换的方法产生其他任意分布的伪随机数。（0，1）均匀分布的伪随机数是最简单、最基本的一种。乘同余法产生（0，1）均匀分布的伪随机数分为如下两步：

（1）用递推同余式产生正整数序列{x_i}，x_i＝（Ax_i-1）modM，即x_i是Ax_i-1对M取余的结果，其中A和M的选取与计算机字节有关。初值x₀也称为种子，一般取正的奇数。常用的参数取值为x₀＝1，A＝5¹³，M＝10³⁶；

（2）令c_i＝x_i/M（i＝1，2，…），则{c_i}即为（0，1）上均匀分布的伪随机序列。幅值为0.5的白噪声可通过对{c_i}逐元素减0.5得到。

但是，白噪声序列在工程上不便实现，因为按白噪声的变化规律动作将导致工业设备（如阀门）的重度磨损。事实上，常使用伪随机二进制序列和广义二进制噪声作为典型的工业过程测试信号。

图7-3 白噪声过程的一个实现

3.伪随机二进制序列

伪随机二进制序列（Pseudo Random Binary Sequence，PRBS）是由0、1信号组成的长周期信号。在一个长周期内，它是一个真实的随机二进制信号；而若超过一个长周期，则重复前一个长周期的信号。PRBS由下式（7-4）产生：

其中，l≥0，单位为时钟周期，⊕为逻辑异或运算符，b_j∈{0，1}（1≤j≤n-1）为反馈系数，b_n＝1，初始状态s_j（0）∈{0，1}（1≤j≤n）设置为不全为零的随机二进制序列。选取合适的反馈系数b_j可得到最长的长周期M＝2ⁿ-1（单位为时钟周期），对应的PRBS称为M序列。

在实际应用中，为了保证测试信号具有合适的幅值，常选择u（l）＝a[1-2s_n（l）]。这样在u（l）的计算中，s_n（l）由逻辑值转变为实数值，而测试信号u（l）是由a、-a信号组成的长周期信号。这样设计的M序列具有如下的性质：

（1）由于在最长的长周期M内，u（l）＝-a的次数总比u（l）＝a的次数差1次，故u（k）的均值为（k的单位是采样周期）

这说明M序列中含有直流成分。若想去掉直流成分，可以将PRBS与周期为2的0、1方波序列进行模2求和（即逐位异或），得到逆M序列，长周期为2M，然后对得到的逻辑值s′_n（l），计算u′（l）＝a[1-2s′_n（l）]。

（2）记时钟周期T_clk为随机二进制信号的变化周期，采样周期为T_s，通常采样周期即预测控制的控制周期。当T_s＝T_clk时，在一个最长的长周期M内，u（k）的自相关函数为

T_s＝T_clk时，在每个采样时间点上，u（k）的自相关函数为(www.xing528.com)

（3）T_s＝T_clk时，u（k）的谱密度为

从上面的性质（2）可以看出，当M足够大时，PRBS信号自相关函数接近脉冲序列，因此在工业上可以代替白噪声作为过程的辨识输入信号。式（7-8）是谱密度的理论值。用MATLAB命令idinput（511，PRBS，[0，1]，[-0.5，0.5]）产生PRBS信号，a＝0.5、M＝511、T_clk＝T_s。用MATLAB命令spa得到图7-4所示的谱密度估计，与白噪声相似，在整个频段内信号能量相差不大。实际上，一般要求预测控制的模型具有低通特性，因此一般要求测试信号也要具有低通特性，这样能充分激励控制需要的模型信息。通过加大时钟周期可以使信号呈现低通特性。图7-5为T_clk＝8T_s的PRBS信号的谱密度估计，具有低通特性，但不足是在部分频率点谱密度估计为零。

图7-4 T_clk＝T_s的PRBS信号的谱密度估计

4.广义二进制噪声

广义二进制噪声（Generalized Binary Noise，GBN）是由Tulleken提出的一种面向过程控制辨识的实验信号。GBN信号取值为-a与a，信号保持不变的最短时间间隔为T_min，在每个转换时刻l，按照下式的规则进行转换：

其中，l≥0，单位为T_min；p_sw为转换概率。显然，GBN信号均值为0。称T_min为最小转换时间，可取为控制周期或其整数倍。定义转换时间T_sw为采样时两次转换的间隙时间，则GBN信号的平均转换时间为

其谱密度为

其中，q＝1-2p_sw。

图7-5 T_clk＝8T_s的PRBS信号的谱密度估计

式（7-11）是谱密度的理论值。当T_min＝l、a＝0.5、p_sw＝1/2[利用（0，1）均匀分布的伪随机序列，当幅值大于0.5时切换，否则不切换，则可保证为p_sw＝1/2]时，用MATLAB命令spa得到白噪声GBN的谱密度估计如图7-6所示。但是根据前面的讨论可知，白噪声信号不是最好的测试信号。通过降低转换概率，即增加平均转换时间可以获得低通GBN信号。当p_sw＝1/8时，信号的谱密度估计如图7-7所示。从该图可以看到，平均转换时间较大的GBN信号为一个低通信号，并且在低频段不会出现部分频率点为零的情况，这相对于PRBS信号是个很大的优点。不仅如此，从其产生的方法可知，GBN信号长度可以任意设置，且不同的GBN信号完全不相关，因此它可以非常方便地应用到多变量模型辨识上。

图7-6 p_sw＝1/2的GBN信号的谱密度估计

图7-7 p_sw＝1/8的GBN信号的谱密度估计

5.关于测试信号的幅值

在实际工业过程中，由于噪声是不可预测的，为了获取具有高信噪比的数据，需要信号的幅值尽可能大。但是另一方面，测试信号的幅值也不宜过大：（1）对正常过程操作的“扰动”要小；（2）对于线性模型的辨识，过程变量要保持在有效范围内。

令u（k）表示一个零均值的信号，则可对它的振幅因子作如下的定义：

一个好的测试信号需要有小的振幅因子，振幅因子越小，测试信号越好。总的说来，二进制噪声（按照采样周期T_s随机变化的、幅值为±a的序列，包括T_s＝T_clk时前面的PRBS和GBN）的振幅因子最小。

二进制噪声的能量在频域上分布均匀且相比于具有非常数振幅的信号（例如普通白噪声和多频正弦信号），二进制噪声更适合于现场操作。