优化飞行轨迹，不错过日落与日出的美妙场景

（1）作品简要介绍

学生S是一位勤于思考的学生，对研究有一股自发的热情。他从一次上海飞温哥华的航班上看到了日落，开始思考一个问题：上飞机后何时能够看到日落这么美妙的时刻？在学习了平面和参数方程等知识后，他研究了这个问题，并写出了一份内部评价作品。作品的基本思路是通过地球的方程、晨昏线方程以及两点之间的大圆方程求出飞机飞行轨迹与晨昏线的交点，从而得到起飞后多少时间能够见到日落。从这个实例的方法出发，可以在以后的飞行中不再错过日落和日出的美妙场景。他给自己的内部评价取了一个有点诗意的名字——天空何时亮起来？

（2）涉及知识要点

核心要点包括：通过向量方法推导各类平面方程、球坐标与笛卡儿坐标的互换，使用Wolfram Mathematica求解一个复杂的多变量方程组，数值估算，等等。当然，所有这些，都需要一些地理知识作为前提，包括地球自转与公转、经纬度、晨昏线，等等。

（3）作品完成过程

在这篇作品的完成过程前，学生自行过滤、筛选自己感兴趣和有能力做的问题，并与教师商量可行性。在得到指导教师的认可和些许指点后，学生继续研究这个问题，并择时与教师进一步探讨计算方法。这个过程中，学生的主动性发挥极大的作用。如果没有一定的时间管理能力和热情、决心，很难完成或做好。(www.xing528.com)

在学生完成作品时，曾就该课题与教师进行过三次交流，最长的一次大概为30分钟，主要是内容处理的一些可行性和技术问题。

在学生入读大学本科半年后，教师再次与该生就该内部评价作品的完成进行了一次20分钟的访谈，涉及对这篇作品的反思，哪些部分尚可改进，以及完成这份作品对大学学习的影响等。学生经过短暂回忆后，就能大概回忆起这篇一年多前所写文章的思路和计算的大致方法，他对完成这篇作品的兴奋之情仍然溢于言表，并跟教师特别强调了他在这篇文章中的个人参与的深入程度。这点可以看出，他确实用心做了这篇作品，并且为此感到自豪。

（4）教师评述

这篇作品有较高难度，并不是一个典型的内部评价作品，学生的成果是让教师眼前一亮的。首先，学生需要有地理学科知识的储备，才能有自信着手这篇有跨学科背景的作品。其次，学生需要有“抓大放小”的宏观设计能力。比如说，由于地球自转的原因，飞机到底按照什么航线飞行？这需要做一定的基础研究，并排出所有非主要因素的干扰，并做出合理的假设。这名学生的假设是飞机按照起讫地的动态变化确定大圆方程（注意：这是动态的方程，也就决定了前述多变量方程组为何需要通过计算机来进行估算）；再比如说，晨昏线方程的确定，需要精确到天、小时还是分？飞行高度是否需要考量？越是精确，对计算要求越高，这就有孰轻孰重的权衡。学生还需要有一定的反思精神：在整个过程中，需要对各种干扰模型和结果等因素，根据自己的能力和结果的合理性，不断进行权衡并做出各种决定。最终，学生需要有一定的计算机软件使用能力才能解决复杂的方程。可见，这名学生其实使用了一个四变量的方程组，其计算相当复杂，其中包括了对数值进行假设代入、使用网络计算机求解时间，再进行逼近求解。