复杂加工特征的变形映射建模优化方法

在变形映射建模过程中，通过内部网格的生成与优化能够实现被切削几何体的参数化，进而获得被加工零件的多态工序模型。

2.3.2.1　变形映射建模方法的计算流程

复杂加工特征变形映射建模的流程如图2.13所示。首先对包含复杂加工特征工件的几何特征进行分析，确定其区域划分方法、边界简化方法及曲面离散方法，将计算结果作为变形映射方法的输入，然后在线性超限插值的基础上，采用埃尔米特（Hermite）超限插值和拉格朗日（Lagrange）超限插值来生成被切削几何体的内部网格。埃尔米特超限插值可以通过控制法矢模长来控制网格生成结果，拉格朗日超限插值可以通过引入虚拟控制曲面来控制网格生成结果。当根据超限插值结果仍然不能获得满足要求的网格曲面时，将超限插值结果作为偏微分方程法的初值，采用偏微分方程法对内部网格的分布进行优化。常用的偏微分方程有两种：拉普拉斯（Laplace）偏微分方程和泊松（Poisson）偏微分方程。拉普拉斯偏微分方程能够获得曲率光顺的网格曲面，但是缺乏对网格的筛选，泊松偏微分方程可以通过设计控制方程对内部网格进行控制。最后，通过固定某个方向的参数为常值即可获得参数化的中间变形曲面。

图2.13　变形映射建模流程

内部网格分布决定工序曲面的几何形状及曲面上余量的分布情况，然而，工序曲面的几何形状和余量分布与切削过程中的加工工艺要求密切相关。因此，在变形映射建模过程中，被切削几何体内部网格的分布必须满足一定的加工工艺要求。

2.3.2.2　基于超限插值的内部网格生成方法

由于任何一种单变量插值方法都能够应用到单个坐标方向上进行插值计算，因此不同的单变量插值方法或者多个单变量插值方法相结合，会产生无数多个不同形式的超限插值方法。通常，高阶的或者复杂的单变量插值方法会被用于沿切削方向网格的生成，对应的坐标方向称为主方向，而低阶的线性插值方法会被用到其余两个坐标方向。

1.线性超限插值方法

当超限插值的基函数是线性插值基函数时，该超限插值方法被称为线性超限插值方法。线性超限插值方法是一种最简单的网格生成方法。如图2.14所示，假设计算域、物理域的坐标轴以及物理域中被切削体六个表面上几何信息的空间位置被确定，则线性插值基函数为

图2.14　线性超限插值

在计算域的每个坐标方向上构建单变量线性插值方程，表达式为

线性超限插值方法鲁棒性好，速度快，易于计算，但是线性超限插值方法不允许对中间变形曲面进行较多的控制，仅可以设置中间变形曲面的数目，因而目前只适合于沿型腔深度方向形状变化不大的浅型腔。

2.埃尔米特超限插值方法

埃尔米特超限插值方法结合了函数的导数值，使得插值的精度更高。若将三次埃尔米特多项式插值的基函数作为超限插值方法的基函数，则该超限插值称为三次埃尔米特超限插值。物理域中x、y、z坐标对应计算域中u、v、w坐标，曲面s1、s2、s3、s4、s5、s6对应平面f1、f2、f3、f4、f5、f6。在超限插值方法中，若已知物理域某个坐标方向上两个对应插值曲面上型值点的法矢信息，则可以在该坐标方向上采用三次埃尔米特超限插值方法。若z是坐标方向，那么z方向的单变量三次埃尔米特插值（N=2，R=1）函数为

式中：和）为插值基函数，其表达式为

式中：w1、w2为z方向上两个对应曲面F（u，v，w1）、F（u，v，w2）的参数值。(www.xing528.com)

曲面F（u，v，w1）、F（u，v，w2）对应曲面s5、s6。F（u，v，w1）、F（u，v，w2）在w方向的偏导数方向可以由曲面上对应点在u方向和v方向切矢的叉乘来确定。w方向的偏导数方向将垂直于曲面F（u，v，w1）、F（u，v，w2）。那么，w方向上的偏导数为

式中：为曲面F（u，v，w1）在w方向上偏导数的方向；为曲面F（u，v，w2）在w方向上偏导数的方向；（u，v）和（u，v）分别表示曲面F（u，v，w1）和F（u，v，w2）在w方向上偏导数的模长，下标w1、w2是曲面F（u，v，w1）和F（u，v，w2）在深度方向上对应的参数值。

埃尔米特超限插值方法中，插值曲面的偏导数（法矢）给中间变形曲面提供了额外的控制因素。当法矢方向确定时，法矢的模长将成为控制中间变形曲面形状和插值精度的重要参数。若将法矢的模长定义为常量或者与曲面信息有关的标量函数，则该标量函数就是埃尔米特超限插值建模方法的模型参数。相比线性超限插值方法，埃尔米特插值方法具有更大的灵活性，能够控制中间变形曲面的形状。对于复杂曲面型腔或者深型腔，埃尔米特超限插值方法更适用。

3.拉格朗日超限插值方法

拉格朗日超限插值方法是一种多项式插值方法，可以根据给定的数据点来逼近复杂的曲线。若将拉格朗日多项式插值的基函数作为超限插值方法的基函数，就使得变形映射建模过程引入了额外的虚拟控制面，可对工序模型的形状变化进行控制，这样的超限插值方法称为拉格朗日超限插值方法。

如图2.15所示，物理域中x、y、z坐标对应计算域中u、v、w坐标，曲面s1、s2、s3、s4、s5和s6对应参数面f1、f2、f3、f4、f5和f6。在超限插值方法中，若已知计算域与物理域内部k个对应曲面的位置信息（除空间几何体六个外表面），可以采用m+1次拉格朗日超限插值方法来生成中间变形曲面，m为虚拟控制面数量，图2.15所示为m=2的情况。由此可知，拉格朗日超限插值方法可以给变形映射建模过程引入多个额外的虚拟控制面约束。这些虚拟控制面被定义为拉格朗日超限插值方法中的模型参数，通过虚拟控制面分布位置和几何形状的设置来完成模型参数的设计。虚拟控制面可以在被切削几何体内部、外部或者内外部同时分布，具体情况需根据零件的几何特征而定，其中虚拟控制面的数目与零件的加工特征数目相同。

2.3.2.3　建模实例

本节以叶轮加工为例，说明建模方法在工件几何状态建模中的应用。对叶轮来说，70%～90%的余量要在叶轮流道粗加工过程中去除，因而叶轮流道加工工序模型的计算相当重要。如图2.16（a）所示，叶轮模型具有11个等长叶片，叶轮高度为25 mm，内径为88.75 mm，外径为222.855 mm，叶片型面为空间扭曲自由曲面且最高高度为39.35 mm。叶轮毛坯是由圆柱体经过车铣加工的回转件，如图2.16（b）所示。用叶轮流道相邻两个叶片和轮毂面去裁剪毛坯可以获得流道的被切削几何体，如图2.16（c）所示。

图2.16（c）中，流道被切削几何体由六个可直接参数化的边界曲面组成，将理论面和毛坯面离散成51×51个网格点，其余边界曲面离散成51×11个网格点。采用线性超限插值方法将被切削几何体参数化后，其内部将产生9个中间变形曲面。这些变形曲面就是由毛坯曲面逐步过渡到理论曲面的曲面模型，其几何形状与理论曲面相似，如图2.17所示。由图2.17可知，线性超限插值获得的中间变形曲面的空间分布状态比较均匀，曲率变化平缓，适合作为工序曲面。

图2.15　拉格朗日超限插值

图2.16　叶轮模型

（a）叶轮（b）叶轮毛坯（c）被切削几何体

图2.17　叶轮流道工序模型

（a）u=0.5时的横截面（b）流道中间变形曲面